实验三：Newton 法程序设计

一、实验目的

1、基本要求

掌握 Hesse 矩阵的计算方法和 Newton 法的基本思想及其迭代步骤；学会运用 MATLAB 编程实现

常用优化算法；能够正确处理实验数据和分析实验结果及调试程序。

 

二、实验内容

（1）求解无约束优化问题： ；

（2）终止准则取 ；

（3）完成 Newton 法（牛顿法）的 MATLAB 编程、调试；

（4）选取几个与实验二中相同的初始点，并给出相关实验结果的对比及分析（从最优解、最优 值、收敛速度（迭代次数）等方面进行比较）；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

3、操作要点

（1）通过编程实现牛顿法；

（2）使用 MTALAB 调试程序，并将实验结果保存到文件中；

（3）撰写实验报告

 

 

三、算法步骤、代码、及结果

   1. 算法步骤

步0：确定终止误差e=（0~1），初始点x0，=(0~1)，=（0,0.5），令k=0

步1：计算gk=f(xk).若||gk||<=e,停算，输出xk作为最优解。否则，转步2

步2：计算Gk=^2f(xk)，并解出方程组：Gk*dk=-gk，解得dk，其中Gk在xk处要正定

步3：求步长k=^mk，m的值从0开始

若f(xk+ ^m*dk)<=f(xk)+*^m*gk'dk

则 mk=m，步长 k=^mk，若不满足上式，则m=m+1，直到满足上述不等式为止

步4：令Xk+1=xk+ k*dk，k=k+1，转步1

2. 代码

 

1、牛顿法

function [x,val,k] =dampnm(fun,gfun,Hess,x0)
%功能:用阻尼牛顿法求解无约束问题minif(x)
%dampnm是阻尼的意思
%输入：fun,gfun,Hess分别是目标函数，梯度，二阶导数，x0是初始点
%输出：x，val分别是近似极小点和近似最优值，k是迭代次数
maxk=100;
rho=0.55;
sigma=0.4;
k=0;
e=1e-5;%精度要求
while(k<maxk)
    gk=feval(gfun,x0);
    if(norm(gk)<=e),break;end
    Gk=feval(Hess,x0);
    dk=-Gk\gk;%右除，解方程Gk*dk=-gk
    m=0;
    mk=0;
    while(m<20)
        if(feval(fun,x0+rho^m*dk)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*gk'*dk);
           mk=m;
           break;
        end
       m=m+1;
    end
     x0=x0+dk*rho^m;
     k=k+1;      
end
x=x0;
val=feval(fun,x0);
end

 2.目标函数

function f= fun(x)
%目标函数
f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;
end

 3.目标函数梯度

function  g=gfun(x)
%目标函数的梯度
g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]';
end

4.目标函数的Hess阵

function f = Hess(x)
%n=length(x);
%f=zero(n,n);
f=[1200*x(1)^2-400*x(2)+2,-400*x(1);
    -400*x(1),             200];
5.主函数

%这个问题的精确值是x=(1,1)',f(x)=0;
clear all
clc
x0=[-1,1]';
[x,val,k]=dampnm('fun','gfun','Hess',x0);

fprintf('初始点 (%g, %g)\n', x0(1), x0(2));
fprintf('迭代次数: %d\n', k);
fprintf('最优点: (%g, %g)\n', x(1), x(2));
disp(['最优函数值: f(x) = ',num2str(val)])