a,b互质，则a,b最大不能表示出的数是ab-a-b

无聊刷知乎发现连dalao们的聊天都看不懂了，这个定理参加蓝桥杯涉及过，之前又出现在NOIP 2017 D1T1被吐槽了（虽然我没打过OI），而且除了这两个地方据说还在cf上出现过，我还是记一下好了

下面给出定理和证明：

\((Sylvester\ theorem)\) 已知\(a,b\)是两个互素正整数，则当$ n > ab-a-b$ 时，\(ax+by=n\)有非负整数解；当\(n= ab-a -b\)时，\(ax+by=n\)没有非负整数解

①

首先用反证法证明\(S=\{a,2a,3a,\cdots,(b-1)a \}\) 为模\(b\)的完全剩余系

如果存在\(ax\equiv ay( \mod b),1 \le x,y \le b-1\)，则\(b | a(x-y)\)，由于\(a,b\)互质，\(b,(x-y)\)互质，矛盾

因此\(S\)模\(b\)的余数互不相同

②

设\(n\)使\(ax+by=n\)非负整数解，则由完全剩余系，存在\(k\)使得\(n \equiv ka( \mod b)\)，\((1\le k \le b-1)\)

若$n \ge ka $ ，则\(n = ka + lb\)，矛盾

所以$ n < ka $， \(n = ka- lb\)，对所有的\(l,k\)取最大值，\(l=1,k=b-1\)，此时\(n=ab-a-b\)

③

最后验证\(n=ab-a-b\)时没有非负整数解

变形有：\(a(x-b+1)=by-b\) ，因为\(a,b\)互质，\(b | (x-b+1)\) ， 并且由于$ x \ge 0 , (x-b+1) \ge 1-b $，所以 $ x-b+1 \ge 0,x \ge b-1$

同理\(y \ge a-1\)，\(ax+by \ge a(b-1)+b(a-1) = 2ab -a -b+1 \ge ab - a -b +1\)，矛盾