函数的连续？可导？可微？怎么理解其区别与特点

初识高数，对于极限这一章节中对于数列或函数的极限的定义觉得如此啰嗦和复杂，明明一句话可以说清楚的话，非要定义好几个变量来说明，比如以下关于函数极限的定义：

定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都 $\exists\delta > 0$ ，使得不等式 $\left| f(x)-a\right|<\varepsilon$ 恒成立，那么常数a就叫做函数发f(x) 当 $x\to x_{0}$ 时的极限，记作 $\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} = a$ .

是不是很繁琐？

由于做题的时候也不需要记住这个形式，所以就没有注意过这些概念。以至于后来的复习和考研过程中看书都只是匆匆翻过，只顾着找解题套路。后来才慢慢体会到理解这些基础概念比做题更加重要且深刻。

定义极限的时候，我们常常会用到口语化的表达，比如“无限接近”、“要多小有多小”，这样的表达可能易于理解，但是这是相当不严谨的表达，不够严密。而上述定义就很无懈可击了，因为其中的 $\varepsilon$ 是任意取值都满足的，而a也是一个实实在在的值，如果a为无穷大那么也可以说极限不存在了。换句话说，只要是在定义域内，x的值无论从从多远，以什么样的方式取接近x0，对于函数值似乎总有一条路使他通向a这个值，而且这条路并不会间断或者裂开，由此就慢慢引出了连续的定义。

连续

函数连续的定义是，在定义域内满足： $\displaystyle \lim_{ x\to x_{0}}f(x) =f(x_{0})$ ，即为在x0处连续，注意这仅仅是在一个点上连续，利用上面的式子，就是函数值不断接近a的值，并最终与a相等。这个相等的过程是“慢慢”实现的，不是突然一下就相等了。而“慢慢”接近的这条路显然也是“一路平坦向前”的。

事实上，教材上也有这样一个描述，直观上讲，函数的连续就是自变量产生微小变化时，相应的而函数值也仅仅发生微小的变化（记住这句话，后面都会用到），从几何上看就是函数的线条没有截断和裂开。这样也可以很直观的理解，已知函数连续的情况下，其反函数和复合函数的连续性，即一个函数中所有的变量，无论是自变量、因变量还是中间变量，都是“缓慢变化”的，没有谁会打破规则，来一个“突变”。

解题中证明连续通常直接用定义证明会比较简便，此外，极限的保号性也是函数连续很明显的一个特点。

可导

导数的概念：函数在某一点的导数定义为：

$f^{\\'}(x)=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \to 0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}$

也可以记为： $y^{\\'}|_{x=x_{0}}$ ，或者 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}$

这是一个极限表达式，也就是 $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$ 比值在x0处的极限值，如果这个极限值存在，与 $\bigtriangleup y$ 和 $\bigtriangleup x$ 无关，就可以说函数在x0这个点可导，这个极限值也就是导数。那么，极限值什么时候存在呢？无无穷小比上无穷小，要求分子分母为同阶无穷小才能得到一个确定的值，于是又回到了上面的情况，自变量产生微小变化时，相应的而函数值也仅仅发生微小的变化。这样就可能是同阶无穷小了，这个结论并不一定能完全确定，只是存在的前提。但是反过来说就没什么问题了，如果极限值存在是一个确定的值，与微小变化量的大小无关，那么这说明此时的变化量是同阶的，即x发生微小变化，y也适当发生相应微小变化，函数是连续的，也就是倒数存在则函数连续。即，可导一定连续。

那么，反过来，函数连续是否可以确定可导呢？答案是不能确定，教材上是直接给出的反例，这样的结论只要有一个反例就可证明，但如何从原理上理解呢？

其实，仔细观察函数连续的直观理解，

“直观上讲，函数的连续就是自变量产生微小变化时，相应的而函数值也仅仅发生微小的变化”

会发现这种情况成立的条件其实很宽，自变量发生微小变化时，因变量也发生微小的变化，不能把自变量甩的太远也不能原地不动。但是这不能保证他们的变化一定是同阶的，如果 $\bigtriangleup y$ 是比 $\bigtriangleup x$ 高阶的无穷小，那么在0这个位置的导数就是0；如果 $\bigtriangleup y$ 是比 $\bigtriangleup x$ 低阶的无穷小，那么在0处的比值就是无穷大，无穷大的情况一般认为导数不存在。

当然，这种情况确实特殊了点，但是需要注意的是，因变量要求在自变量变化微小值的时候也变化微小的值，并没有对其变化方式进行限制。相当于同时跑步的两个人，其中一个人在经过某一点的瞬间突然变了速度，但是前后路程依然是连续的。在这一点把前后都无缝连接了起来，显然前后的速度不一样了。用函数的语言就是，这一点的左导数和右导数都存在，但是不相等。这样的情况下，在这个点上函数也是不可导的。

所以，连续不一定可导。

从形式上看，导数就是自变量单位变化量时，因变量的变化量，换言之就是因变量的变化率，这个单位变化量可以无限小，越小越能刻画出某一点瞬时的变化率。几何意义就是函数图像在这一点的斜率，斜率的大小与 $\bigtriangleup$ 无关，这个 $\bigtriangleup$ 甚至可以在趋近于0的范围内任意取值，与某一点的自变量有关，相当于是属于某一时刻自变量的一种属性，根据自变量可以确定出来，而且不能无限大。

注意这是使用的符号一直都是 $\bigtriangleup$ ,这个符号的意思变化前后的差值，也就是变化量，比如 $\bigtriangleup y=y_{1}-y,\bigtriangleup x=x_{1}=x$ ，然而在很多时候，导数也会写成 $y^{'}=\frac{dy}{dx}$ ,于是这两种表达方式会经常被弄混，也常常被当成完全对等的东西。其实 $\bigtriangleup y$ 和 $\bigtriangleup x$ 是导数定义中的概念，而dy和dx是为微分中的概念，虽然都可以用来表示导数。要理解区别需要从微分的定义开始。

可微

什么是可微？

定义：函数y=f(x)在x0的某区间内有定义， $x_{0}$ 到 $x_{0}+\bigtriangleup x$ 内，如果函数的增量

$\bigtriangleup y=f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})$

可表示为

$\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)$

其中A是不依赖于 $\bigtriangleup x$ 的常数， $o(\bigtriangleup x)$ 表示 $\bigtriangleup x\to 0$ 时 $\bigtriangleup x$ 的高阶无穷小，那么称y=f(x)在点x0可微，而 $A\bigtriangleup x$ 叫做函数在点x0相应于自变量增量 $\bigtriangleup x$ 的微分。即：

$dy=A\bigtriangleup x$

这是教材上关于微分的定义。

从定义中可以看出， $\bigtriangleup y$ 和dy其实并不是同一个东西，也不是完全相等的。 $\bigtriangleup y$ 很好理解，就是两点之差，而dy则像是一个刻意凑出来的定义，用于把 $\bigtriangleup y$ 和 $\bigtriangleup x$ 的关系凑成线性关系，即类似于y=kx+b的形式，因为一阶线性关系是最简单也是最容易理解的关系， $\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)$ 中右这是最简单的函数形式，然而我们在学习函数过程中碰到可以说大都不是简单线性关系的函数，但是，当 $\bigtriangleup x\to 0$ 的时候，高阶无穷小 $o(\bigtriangleup x)$ 就可以忽略不计了，于是，非线性函数就被这样“转化”成了简单的线性关系函数。任何一个函数关系就可以这样被看作无数段简单的线性关系函数组成的。从几何上更好理解，也就是一段曲线由无数段极小的直线组成，

可以得到 $\bigtriangleup y-dy=o(\bigtriangleup x)$ ，两者在无穷小的时候可以认为是相等的。就像每一小段都可以看作直线，直线的斜率即为这一点的导数，用切线段来代替曲线。

而 $\bigtriangleup x$ 的定义就相对来说简单多了，通常把x的增量看作x的微分，即dx= $\bigtriangleup x$ ，从而有dy=f’(x)dx,即为 $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ 。由此也可以体会到为什么二阶导数会写成， $\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$ 分子和分母两种不同的表达方式，因为dy和dx的定义方式本就是不同的。如果把d这个符号叫做微分符号，那么这同一个符号，对于自变量x和因变量y完全是两种不同的定义，二阶导数的意义是对导数的再导数，此时自变量依旧是x，而因变量可以看作一阶导数，根据上面用微分来表示导数的方法来看，分母可以理解为d(dy)，而分子可以理解为 $\left (dx \right )^{2}$ ，合在一起就成了 $\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$ 。当然，这样的理解可能不太准确，但是会帮助你区别这两种不同的表达形式。