0616-0619 答疑Live

怎样翻译数学语言

省流：遇到\(\forall\)用\(\rightarrow\)，遇到\(\exists\)用\(\land\)

首先注意到恒等变换

\[\forall xF(x) \Leftrightarrow \forall(x\in X)F(x)\land \forall(x\not\in X)F(x)\\ \exists nF(n) \Leftrightarrow \exists(n > 0)F(n)\lor \exists(n\leq 0)F(n) \]

我们来看两个具体问题

怎样把「对于任意\(x\in X\)都有\(P(x)\)」翻译成\(\forall xF(x)\)

\[\begin{aligned} &\forall(x\in X)P(x)\\ \Leftrightarrow& \forall(x\in X)P(x) \land 1\\ \Leftrightarrow& \forall(x\in X)P(x) \land \forall(x\not\in X)1\\ \Leftrightarrow& \forall(x\in X)P(x) \land \forall(x\not\in X)(0\rightarrow P(x))\\ \Leftrightarrow& \forall(x\in X)(x\in X\rightarrow P(x)) \land \forall(x\notin X)(x\in X\rightarrow P(x))\\ \Leftrightarrow& \forall x(x\in X\rightarrow P(x)) \end{aligned} \]

故\(F(x)=(x\in X)\rightarrow P(x)\)符合条件

怎样把「存在一个\(n>0\)满足\(Q(n)\)」翻译成\(\exists nG(n)\)

\[\begin{aligned} &\exists nG(n) \\ \Leftrightarrow & \exists(n > 0)G(n)\lor \exists(n\leq 0)G(n)\\ \Leftrightarrow & \exists(n>0)Q(n)\\ \Leftrightarrow & \exists(n > 0)Q(n)\lor 0\\ \Leftrightarrow & \exists(n > 0)Q(n)\lor \exists(n\leq 0)0\\ \end{aligned} \]

分别讨论\(n>0,n\leq 0\)

\[\exists(n > 0)G(n)\Leftrightarrow \exists(n>0)Q(n) \Leftrightarrow \exists(n>0)(n>0 \land Q(n))\\ \exists(n \leq 0)G(n)\Leftrightarrow \exists(n\leq 0)0 \Leftrightarrow \exists(n \leq 0)(n>0 \land Q(n))\\ \]

故\(G(n)=n>0\land Q(n)\)符合条件

前束范式要不要化简

\[\forall x P(x)\land \forall x\neg Q(x)\\ \Leftrightarrow \forall x(P(x)\land \neg Q(x))\\ \]

求前束范式时需要化成只有一个变元\(x\)这样吗？化成如下有变元\(x,y\)的形式可以吗？

\[\Leftrightarrow \forall x\forall y(P(x)\land \neg Q(y)) \]

这里两者都是可以的，但是化成第二种形式更简单更保险。比如下面这种情况就不能化成一个\(x\)的形式

\[\forall xP(x)\lor \forall x\neg Q(x)\\ \not\Leftrightarrow \forall x(P(x)\lor \neg Q(x)) \]

找等价关系的反例

\[\forall xP(x)\lor \forall x \neg P(x)\\ \Leftrightarrow \forall x(P(x)\lor \neg P(x)) \]

问题：\(P\)和\(\neg P\)不是必须满足一个吗？

答：对同一个\(x\)而言，\(P(x)\)和\(\neg P(x)\)确实必须满足一个，但加上\(\forall\)之后就不一定了。

只要\(P(x)\)既不是永真式也不是永假式，\(\forall xP(x)\)和\(\forall x\neg P(x)\)就都为假

证明一致性定理

若\(\Gamma\models Q\)则\(\Gamma_1\models Q\)，其中\(\Gamma_1\)是\(\Gamma\)的有穷子集

为什么不可以给每个不满足\(Q\)的指派\(\sigma\)或模型\(M\)，都挑一个\(\Gamma\)中同样不被\(\sigma/M\)满足的公式\(P\)，组成\(\Gamma_1\)呢？

答：在命题逻辑里确实可以这样做，但在谓词逻辑里，不满足\(Q\)的模型很可能无穷多

谓词逻辑公理系统的前提里面可不可以有自由变元

在\(\Gamma\vdash Q\)中，\(\Gamma\)里的公式能不能有自由变元？

可以。演绎定理里面的前提不能有，但一般的谓词逻辑证明是可以的

\(\not\models Q\)是啥意思

\(\not\models\)这个符号表示推论关系不成立。

特别的，\(\not\models Q\)表示\(Q\)不能从空集直接推出，即\(Q\)不是永真式

相对应的，\(\models Q\)表示\(Q\)是永真式

写一个语句A，使得A有模型且任何A的模型的论域里至少有3个元素

没看懂

• 你要写一个语句A，就是没有自由变元的谓词逻辑合式公式

• A有模型，即A可满足

• 任何A的模型的论域里至少有3个元素：

  • 如果论域里不够3个元素，那么A在这个模型下的真值(语义)必定为假

错误样例：

\[A=\forall x\forall y \forall z (P(x)\land P(y) \land P(z)) \]

令\(D=\{1\}, P^M(1)=1\)，那么\(A\)在这个模型下就是真的呀

参考答案

\[\exists x\exists y\exists z( P(x)\land\neg P(y)\land Q(x)\land Q(y)\land\neg Q(z)) \]

为啥是对的？\(P(x),\neg P(x)\)不可能同时成立，所以\(y\neq x\)。

同理\(z\neq x,z\neq y\)

考试的时候如果要自己证一个定理，步骤怎么写

先证定理再做题。

类似写C程序，先定义函数后写main()。

证定理1的时候发现要先证定理2，证定理2发现要先证定理3怎么办？

凉拌，出题老师不会故意给一个很绕的证明路线让你想不到的。

真出现套娃情况说明你路子有点歪。

「抛开事实不谈，xxx难道就不是xx吗？」

这句话好像确实表达了一个判断，那它是不是命题呢？

不是。命题必须是陈述句。

函词的值是个体，谓词的值是逻辑真值，啥意思？

函词\(f(x_1,x_2,\cdots)\)表示一个论域上的待定函数，所以值是论域中的个体

谓词\(P(x,y,\cdots)\)表示一个关于变元\(x,y,\cdots\)的逻辑判断，所以值是逻辑真值

什么是代入实例，什么是代入，谁有代入

\([x/t]\)是代入实例，它表示把\(x\)换成\(t\)。至于到底能不能干这件事，那要看\(Q[x/t]\)中，前面的公式\(Q\)对\(x\)是否可代入。

\(Q[x/t]\)就是\(Q\)的一个代入，当然，\(x\)必须是\(Q\)的自由变元，即\(x\)对\(Q\)可代入。

显然，如果一个公式没有自由变元，那它就没有代入。所以闭公式，或者语句，就没有代入。

0,1作为个体对象和作为逻辑真值、逻辑符号有啥区别

作为个体对象：如果论域\(D=\{0,1,2,\cdots\}\)，那么\(D\)里的\(0,1\)就是个体对象

作为逻辑真值：如果\(P^\sigma(2)=0, Q^\sigma(3)=1\)，那么这里的\(0,1\)就是逻辑真值

作为逻辑符号：\(Q\Leftrightarrow Q\lor 0 \Leftrightarrow Q\land 1\)，这里面\(0,1\)就是逻辑符号

1个简单析取式的合取是啥意思

\[\neg P\lor \neg P \]

• 它自己是简单析取式
• 它是它自己的合取

所以它是一个合取范式

n元联结词有几个

等价于问\(n\)元联结词的真值表有几种

• 首先\(n\)元联结词的真值表显然有\(2^n\)行

• 每行可以填\(0/1\)，每行之间独立

• 这等价于问\(2^n\)位的二进制数有几个

所以总共有\(2^{2^n}\)种真值表，自然有这么多个n元联结词

n元联结词长啥样

\[r(A,B,C,D,E) \]

就是一个5元联结词，其中\(ABCDE\)都是逻辑公式。

它的作用是：送进去「5个」逻辑值，吐出来「一个」逻辑值

归结法是啥，咱讲过吗？

没讲过，不考

证明\(P\Leftrightarrow Q\)要讨论点啥？

方案1

• \(\sigma(P) = 1\)则\(\sigma(Q)=1\)
• \(\sigma(Q) = 1\)则\(\sigma(P)=1\)

方案2

• \(\sigma(P) = 1\)则\(\sigma(Q)=1\)
• \(\sigma(P) = 0\)则\(\sigma(Q)=0\)

证明题会不会出现答案用了但题面没给的定理？

不可能！绝对不可能！

一阶谓词逻辑语言到底由啥组成？

通常，一阶谓词逻辑语言有多种定义形式。
——马殿富等人《离散数学及其应用》北京：高等教育出版社，2021.12

一般而言，只要一个说法中提到联结词、谓词、量词，基本可认为该说法正确。

此外，「谓词逻辑公理系统中」的一阶谓词逻辑语言没有函词，联结词和量词也只有\(\neg,\rightarrow, \forall\)

怎么判断谓词逻辑公式是不是重言式？

\[{\color{blue} {\forall x R(x)}} \rightarrow( \exists x Q(x) \rightarrow {\color{blue} {\forall x R(x)}}) \]

令\(P=\forall x R(x), Q=\exists x Q(x)\)，则可将原式转化为

\[P\rightarrow(Q\rightarrow P) \]

转化后的命题逻辑公式是永真式，因此原式是重言式

项特别多的公式要怎么化简

\[(p\oplus q)\land(r\rightarrow s)\land\neg(q\land s)\land(\neg s\rightarrow \neg p) \]

就，消消乐呗

想办法把长得像的东西凑到一起，然后看能不能消掉

不然还能怎么办嘛！

证明一个推理时\(\vdash\)和\(\rightarrow\)有啥区别

• \(\vdash\)是公理系统里的推演符号，当公理系统有可靠性和完全性时，它可以跟「语义推出关系\(\models\)」相互转化

• \(\rightarrow\)是一个逻辑联结词，只能出现在逻辑公式里。如果一个推理以\(p\rightarrow q\)的形式表达，那么证明该推理时需要讨论：对于任意的指派\(\sigma\)或任意模型\(M\)，整个公式均为真

• \(\models\)是语义推出关系。它的定义是说，若\(\sigma(\Gamma)=1\)时必有\(\sigma(Q)=1\)，则称\(\Gamma\models Q\)。因此在证明形如\(\Gamma\models Q\)的推理时，只需枚举满足\(\Gamma\)的指派或模型

• \(\vdash\)出现在公理系统中。若要证明\(\Gamma\vdash Q\)，则一般(题里没说能用其他方法时)只能通过构造所处公理系统中的证明来做到

这个证明不用演绎定理怎么做

感谢yjh供题+打字

用公理系统证明

\[\vdash (\neg A\rightarrow B)\rightarrow((\neg A\rightarrow\neg B)\rightarrow A) \]

Proof

\[\begin{array}{lll} A_{1} & (\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow(B\rightarrow A) & \mathscr A_3\\ A_{2} & (\neg A\rightarrow B)\rightarrow((B\rightarrow A) \rightarrow(\neg A\rightarrow A)) & \vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow ( (Q\rightarrow R)\rightarrow(P\rightarrow R))\\ A_{3} & ((\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow(B\rightarrow A)) \rightarrow(\\ &((B\rightarrow A)\rightarrow(\neg A\rightarrow A))\rightarrow( (\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow(\neg A\rightarrow A))) & \vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow ( (Q\rightarrow R)\rightarrow(P\rightarrow R))\\ A_{4} & ((B\rightarrow A)\rightarrow (\neg A \rightarrow A)) \rightarrow ((\neg A\rightarrow \neg B) \rightarrow (\neg A \rightarrow A)) & A_{3}=A_{1}\rightarrow A_{4}\\ A_{5} & (\neg A\rightarrow A)\rightarrow A & \vdash (\neg A\rightarrow A)\rightarrow A \\ A_{6} & ((\neg A\rightarrow A)\rightarrow A)\rightarrow(\\ &((\neg A\rightarrow\neg B)\rightarrow(\neg A\rightarrow A)) \rightarrow((\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow A)) & \vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow ( (R\rightarrow P)\rightarrow(R\rightarrow Q))\\ A_{7} & ((\neg A\rightarrow \neg B)\rightarrow(\neg A\rightarrow A))\rightarrow((\neg A\rightarrow\neg B)\rightarrow A) & A_{6}=A_{5}\rightarrow A_{7}\\ A_{8} & ((B\rightarrow A)\rightarrow(\neg A\rightarrow A)\rightarrow(\neg A\rightarrow\neg B)\rightarrow A) & A_{4},A_{7} \vdash A_{8}\\ A_{9} & (\neg A\rightarrow B)\rightarrow(( \neg A\rightarrow\neg B)\rightarrow A) & A_{2},A_{8}\vdash A_{9}\\ \end{array} \]

我找到的往年题是真的吗？有参考价值吗？

省流：不是，没有

是真题吗？

我们考察的题目包括「选择、判断、填空、简答(计算)、证明」。你找到的卷子上是这几样吗？

有参考价值吗？

它都不是真的，你说有没有参考价值？建议大家做好心理准备，往年有不少同学刷完“往年题”后感到那种「勃勃生机，万物竞发」的景象犹在眼前，作出了优势在我的错误判断，导致考试折戟。希望大家不要重蹈覆辙。

\(\forall x P(x)\)的语义到底啥意思？我该怎么算？

1

假设你的论域是\(D=\{a,b,c,d,\cdots\}\)

• 那么\(\forall xP(x)\)表示\(P(a)\land P(b)\land P(c)\land \cdots\)，

• \(\exists xP(x)\)表示\(P(a)\lor P(b)\lor P(c)\lor \cdots\)

2

加大难度，\(\forall x\exists y P(x, y)\)啥意思？

• 一层一层往里拆，注意到\(\forall x\)的辖域管着\(\exists y P(x,y)\)，我们想到可以把\(\exists y P(x,y)\)看成一个关于\(x\)的特殊谓词\(Q(x)=\exists y P(x,y)\)，因为它的真值显然只跟\(x\)的取值有关

• 我们套用之前的做法，\(\forall x\exists y P(x, y)\)表示

  \[Q(a)\land Q(b)\land Q(c)\land \cdots \Leftrightarrow\\ \exists y P(a,y)\land \exists y P(b,y) \land \exists y P(c,y) \cdots \]

• 然后我们把\(\exists yP(\cdot, y)\)打开

  \[(P(a,a)\lor P(a,b)\lor P(a,c)\lor \cdots) \land\\ (P(b,a)\lor P(b,b)\lor P(b,c)\lor \cdots) \land\\ (P(c,a)\lor P(c,b)\lor P(c,c)\lor \cdots) \land\\ \cdots \]

3

无奖答题：\(\forall xP(x)\rightarrow \forall Q(x)\)怎么办？

• 显然，\(\forall xP(x), \forall Q(x)\)是两个语句（闭公式），它们的真值可以按照1中给出的做法分别计算

• 比如说，你算出来\(\forall xP(x)\)的真值是\(X\)，算出来\(\forall yQ(x)\)的真值是\(Y\)，那么原式就可以换成\(X\rightarrow Y\)。

• 这时再算\(X\rightarrow Y\)就好了。

• 为啥这东西跟2里面不一样呢？因为辖域不一样。量词管着谁你就展开谁代入谁

前束范式的量词怎么摆，斯科伦范式中\(\exists\)量词对应函词怎么换？

前束范式的量词通常有多种摆法。只要遵守如下规则就都是正确的

• 保持量词辖域的从属关系

• 具体来说，比如\(\exists x\forall y P(x,y)\lor \exists zQ(z)\)这个公式，我们知道\(\exists x\)管着\(\forall y\)，但这俩跟\(\exists z\)没有半毛钱关系。因此\(\exists z\exists x\forall y, \exists x\exists z\forall y, \exists x\forall y\exists z\)都是正确的，只要保证\(\exists x\)在\(\forall y\)左边即可。

斯科伦范式的函词怎么换？

• 完全取决于前束范式的量词怎么摆

• \(\exists\)量词左边没有\(\forall\)量词，换成常元，

• 有一个\(\forall x\)，换成\(f(x)\)

• 有\(\forall x\forall y\)，换成\(f(x,y)\)

• 以此类推

谓词逻辑的语义证明应该怎么想？

• 首先，你把论域指定成自然数集\(\mathbb N\)

• 然后，你把常元\(c\)和变元\(x,y\)都看成\(\mathbb N\)上的点

• 最后，你把谓词看成\(\mathbb N^m \mapsto \{0,1\}\)的函数，其中\(m\)表示这个谓词是\(m\)元谓词

• 到这里，你就把谓词逻辑转化成了函数构造问题：造出一个\(\mathbb N^m \mapsto \{0,1\}\)的函数，使得这个函数满足题意（或者你的需要）

例如，证明

\[\forall xP(x)\not\Leftrightarrow P(x) \]

被转化成：证明存在\(\mathbb N\)上的函数\(P(x)\)满足

• 存在一个点\(x\)使得\(P(x)=1\)，对应\(I(P(x))(v)=1\)或\(\sigma(P(x))=1\).

• \(P(x)\)不总是\(1\)，对应\(I(\forall xP(x))=0\)或\(\sigma(\forall xP(x))=0\).