Chapter 4 证明技巧
证明技巧:思路图
使用公理系统时,证明的「构思过程」与证明的「书写过程」大相径庭。思考过程往往从最后一步开始,逐步规约。来看两个例子
传递律的证明
Thinking & Writing...
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换位律的证明
Thinking & Writing...
证明技巧:待定公式法
E1
证明
容易想到应该用公理3,我们希望干这件事:
显然,我们需要一个公式带着来回转。那我们不妨令,从而
对用两次公理3,得到,再用一次公理2,借助传递律和MP规则得
我们令,显然可以取
于是可以回头构造证明
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E2
证明
显然我们可以用和快速解决这个题。
不过,如果我们从开始构造证明呢?
我们不妨设可以得到
证明技巧:识别死胡同
我们的公理系统具有可靠性,也就是说,在语义层面
-
它只能从永真的公式推演到永真的公式,不能从永真的公式推出不永真的公式
-
它推出的公式中,后件可满足的情况一定比前件多,后件不可满足的情况一定比前件少,前件可满足时后件一定可满足。
-
简而言之,它只能使结论/后件的永真性不断变强,不能使其变弱
所以,如果你发现以下情况,那说明你的证明思路是错的
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如果你想要证明一个(满足前提条件时)不是永真的公式,那你应该考虑给这个公式增加一些前件,或者调整它的结构,把它变成永真式
例如,如果见到,那说明你走错路了
-
如果你想要通过证明来证明,或者想要通过来证明,但并不是一个永真公式,那么除非你确定你有特殊方法做到这件事,否则你的就太弱了,需要改成一个永真公式
例如,使用待定公式法时,设,想得到,这时通常必须是永真的
-
简言之,如果,那么你既不能借助推演出,也不能借助推演出。这种情况下,你应该加强,使得
演绎定理证明转普通证明
如果实在没有思路,还可以尝试用演绎定理给出证明,然后转换成普通证明再写到试卷上。具体做法参见Chapter4Tutorials(T2)。
需要注意的是,这个转换方法并不万能。它可以处理形如
形式的定理,但不能处理形如
形式的定理,此时转换过程会穿透定理的证明过程。例如
不能直接转换,因为
不能直接得到我们想要的
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