Typesetting math: 100%

Chapter 4 证明技巧

证明技巧:思路图

使用公理系统时,证明的「构思过程」与证明的「书写过程」大相径庭。思考过程往往从最后一步开始,逐步规约。来看两个例子

传递律的证明

AB,BCAC

Thinking & Writing...

换位律的证明

(A(BC))(B(AC))

Thinking & Writing...

证明技巧:待定公式法

E1

证明

¬¬PP

容易想到应该用公理3,我们希望干这件事:

???¬¬P¬P ??????P

显然,我们需要一个公式???带着¬¬P来回转。那我们不妨令???=¬¬R,从而

¬¬P(¬¬R¬¬P)A1

¬¬R¬¬P用两次公理3,得到RP,再用一次公理2,借助传递律和MP规则得

(¬¬PR)(¬¬PP)

我们令¬¬PR,显然可以取

¬¬PR¬¬P(Q¬¬P)

于是可以回头构造证明

E2

证明

(A¬A)¬A

显然我们可以用(¬AA)A(PQ)(¬Q¬P)快速解决这个题。

不过,如果我们从¬A开始构造证明呢?

我们不妨设可以得到¬¬R¬A

证明技巧:识别死胡同

我们的公理系统具有可靠性,也就是说,在语义层面

  • 它只能从永真的公式推演到永真的公式,不能从永真的公式推出不永真的公式

  • 它推出的公式中,后件可满足的情况一定比前件多,后件不可满足的情况一定比前件少,前件可满足时后件一定可满足。

  • 简而言之,它只能使结论/后件的永真性不断变强,不能使其变弱

所以,如果你发现以下情况,那说明你的证明思路是错的

  • 如果你想要证明一个(满足前提条件时)不是永真的公式,那你应该考虑给这个公式增加一些前件,或者调整它的结构,把它变成永真式

    例如,如果见到B(AC),那说明你走错路了

  • 如果你想要通过证明AB来证明B,或者想要通过R(AB)来证明RB,但A并不是一个永真公式,那么除非你确定你有特殊方法做到这件事,否则你的A就太弱了,需要改成一个永真公式

    例如,使用待定公式法时,设P(RQ),想得到PQ,这时R通常必须是永真的

  • 简言之,如果AB,那么你既不能借助A推演出B,也不能借助R(AB)推演出RB。这种情况下,你应该加强A,使得AB

演绎定理证明转普通证明

如果实在没有思路,还可以尝试用演绎定理给出证明,然后转换成普通证明再写到试卷上。具体做法参见Chapter4Tutorials(T2)

需要注意的是,这个转换方法并不万能。它可以处理形如

F

形式的定理,但不能处理形如

ΓF

形式的定理,此时转换过程会穿透定理的证明过程。例如

PQ,PRP(QS)

不能直接转换,因为

A(PQ),A(PR)A(PQ)(PR)

不能直接得到我们想要的

A(P(QS))

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