Chapter 4 证明技巧

证明技巧：思路图

使用公理系统时，证明的「构思过程」与证明的「书写过程」大相径庭。思考过程往往从最后一步开始，逐步规约。来看两个例子

传递律的证明

\[A\rightarrow B, B\rightarrow C\vdash A\rightarrow C \]

Thinking & Writing...

换位律的证明

\[\vdash(A\rightarrow(B\rightarrow C))\rightarrow (B\rightarrow(A\rightarrow C) ) \]

Thinking & Writing...

证明技巧：待定公式法

E1

证明

\[\vdash \neg\neg P\rightarrow P \]

容易想到应该用公理3，我们希望干这件事：

\[\begin{aligned} ??? &\rightarrow \neg \neg P\\ &\Downarrow\\ \neg P &\rightarrow\ ???\\ &\Downarrow\\ ??? &\rightarrow P \end{aligned} \]

显然，我们需要一个公式\(???\)带着\(\neg\neg P\)来回转。那我们不妨令\(???=\neg\neg R\)，从而

\[\neg\neg P\rightarrow(\neg\neg R\rightarrow \neg\neg P) \qquad \mathscr A_1 \]

对\(\neg\neg R\rightarrow \neg\neg P\)用两次公理3，得到\(R\rightarrow P\)，再用一次公理2，借助传递律和MP规则得

\[(\neg\neg P\rightarrow R) \rightarrow (\neg\neg P\rightarrow P) \]

我们令\(\vdash \neg\neg P\rightarrow R\)，显然可以取

\[\neg\neg P\rightarrow R \equiv \neg\neg P\rightarrow(Q\rightarrow \neg\neg P) \]

于是可以回头构造证明

E2

证明

\[\vdash (A\rightarrow\neg A)\rightarrow \neg A \]

显然我们可以用\(\vdash (\neg A\rightarrow A)\rightarrow A\)和\(\vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg Q\rightarrow \neg P)\)快速解决这个题。

不过，如果我们从\(\neg A\)开始构造证明呢？

我们不妨设可以得到\(\neg\neg R\rightarrow \neg A\)

证明技巧：识别死胡同

我们的公理系统具有可靠性，也就是说，在语义层面

• 它只能从永真的公式推演到永真的公式，不能从永真的公式推出不永真的公式

• 它推出的公式中，后件可满足的情况一定比前件多，后件不可满足的情况一定比前件少，前件可满足时后件一定可满足。

• 简而言之，它只能使结论/后件的永真性不断变强，不能使其变弱

所以，如果你发现以下情况，那说明你的证明思路是错的

• 如果你想要证明一个(满足前提条件时)不是永真的公式，那你应该考虑给这个公式增加一些前件，或者调整它的结构，把它变成永真式

  例如，如果见到\(B\rightarrow(A\rightarrow C)\)，那说明你走错路了

• 如果你想要通过证明\(A\rightarrow B\)来证明\(B\)，或者想要通过\(R\rightarrow(A\rightarrow B)\)来证明\(R\rightarrow B\)，但\(A\)并不是一个永真公式，那么除非你确定你有特殊方法做到这件事，否则你的\(A\)就太弱了，需要改成一个永真公式

  例如，使用待定公式法时，设\(P\rightarrow(R\rightarrow Q)\)，想得到\(P\rightarrow Q\)，这时\(R\)通常必须是永真的

• 简言之，如果\(A\prec B\)，那么你既不能借助\(A\)推演出\(B\)，也不能借助\(R\rightarrow(A\rightarrow B)\)推演出\(R\rightarrow B\)。这种情况下，你应该加强\(A\)，使得\(A\succcurlyeq B\)

演绎定理证明转普通证明

如果实在没有思路，还可以尝试用演绎定理给出证明，然后转换成普通证明再写到试卷上。具体做法参见Chapter4Tutorials(T2)。

需要注意的是，这个转换方法并不万能。它可以处理形如

\[\vdash F \]

形式的定理，但不能处理形如

\[\Gamma \vdash F \]

形式的定理，此时转换过程会穿透定理的证明过程。例如

\[P\rightarrow Q, P\rightarrow R\vdash P\rightarrow(Q\land S) \]

不能直接转换，因为

\[A\rightarrow(P\rightarrow Q), A\rightarrow(P\rightarrow R) \vdash A\rightarrow(P\rightarrow Q)\land (P\rightarrow R) \]

不能直接得到我们想要的

\[A\rightarrow(P\rightarrow(Q\land S)) \]