幽夜默示录 Tutorial

请为一切不真实之物感到骄傲，因为我们高于这个世界！

“请不要说出如此缺乏想象力的话，梅姬斯图斯卿。幽夜净土当然是夜鸦的国度。”说着，尊贵的书记官奥兹华尔多·赫芙那梵茵斯为一行人打开了礼堂的大门。在礼堂的中央，无数夜鸦的环绕簇拥下，断罪的皇女菲谢尔·冯·露弗施洛斯·那菲多特庄严宣告：“欢愉吧，我的子民！此刻，吾将在此重建幽夜！为了诏示世界的真理，就将这残破与毁灭，呈现于本皇女面前！”

“小姐的意思是，对于每个谜题，都需要找到一个反例。”奥兹适时地补充道。

简单来说，《圣国往生录》是一部由断罪的皇女菲谢尔亲自编写并携众夜鸦出演的四幕剧，讲述了皇女带领夜鸦冲破重重阻碍，破解古老谜题，重建残破家园的故事。

「令我的子民自由，不囿于古老法则。」

每一幕中，皇女和夜鸦们都会遇到一个谜题，夜鸦们需要排成有效的阵形来形成反例，进而破解谜题。只有成功破开谜题才能让演出进行下去。异世的旅者啊，我想知道，哪些阵形才是有效阵形呢？

要求

\(i\)代表第\(i\)幕，对于\(\forall i \in \{1, 2, 3, 4\}\)，请给出第\(i\)幕中的有效阵形。如有多解，则任返回一个即可。每幕6分，总分20分。

每一幕所要求的阵形都不相同，你可能需要返回列表也可能需要返回矩阵，具体要求见后文。尽管形状可能不同，但每个阵形都代表一个指派，列表是对形如\(P(x)\)的谓词的指派，矩阵是对形如\(P(x, y)\)的谓词的指派。列表和矩阵中每个元素的含义是：

• 每个元素只能为\(1\)或\(0\)，分别代表这个元素所在的位置有或没有夜鸦。

• 列表中第\(i\)个位置有夜鸦代表\(P(i) = 1\)，没有则代表\(P(i) = 0\)。

• 矩阵中第\(i\)行第\(j\)列的位置有夜鸦代表\(P(i, j) = 1\)，没有则代表\(P(i, j) = 0\)。

• 列表的长度为\(n\)，代表变元只能在\(\{0, 1, \cdots, n-1\}\)中取值。

• 矩阵为\(n\times n\)的方阵，代表变元只能在\(\{0, 1, \cdots, n-1\}\)中取值。注意，矩阵只能为方阵。

你需要根据上述含义构造出有效的矩阵或列表作为答案，祝答题愉快。

HINT

“没错，这是一道提交答案题，”天才的占星术士梅姬斯图斯卿略显不耐烦地向你解释道，“那个良心出题人不要求过程，你只要把答案填进去就行了。”

“嗯对，借用了线性代数的记号，你看得懂吧？”似乎是厌倦了回答问题，年轻的占星术士径直向剧场走去。

第一幕

邪龙塔斯拉克潜入地下，越过海底，游走至王城之上。臣民知其危险，向救世的主宰祈祷。皇女殿下降临，大战不免祸及王城。最终，她以圣裁的雷电击穿龙鳞，在龙血凝成的暴雨中演讲。她说道：“令……

音乐戛然而止，第一幕以一种略显戏剧化的方式落下帷幕。

“不对不对，怎么回来了呀！故事还没听完呢！”派蒙一脸的失落。

“这种感觉，糟透了，就像买到假冒伪劣占星教程，或是晚餐吃到一半发现忘带钱包…”天才的占星术士莫娜小姐发自内心地补充道。

“啊——！好难受啊！”阿斯托洛吉斯·莫娜·梅姬斯图斯女士发出了少女受难的呻吟。

邪龙也曾渴望夜色与幻梦，却直到生命最后一刻才如梦初醒，毁坏其全部梦想与渴望的，竟是自己这副躯壳。

睡吧，睡吧，静静地睡吧。在我塑造的梦境里，你便可以自由飞翔。

\[\exists x \forall y P(x, y) \rightarrow \forall y \exists x Q(x, y) \tag 1 \]

• 第一幕的有效阵形为\((1)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(1) = M^P, M^Q\)

• \(M^P, M^Q\)为同阶01方阵，含义见要求

• 只要\(M^P, M^Q\)所表达的指派构成\((1)\)式的反例即可得分

第二幕

“令我的子民自由，不囿于古老法则。”

随着皇女殿下庄严宣告，第二幕伴着似有黄金般魔法的舞曲徐徐展开。捡起石头，搭出城堡与乡镇，铺上山岭与海洋。我等金碧辉煌的王国，是狭小又禁忌的乐土。臣民朝拜她，她回答：“为本皇女献上庆典，到旷野中演出戏剧。向我叩拜，向我献上纯净之幻梦以换取永夜荣光。”

与此同时……

“渴望被问路的阿诺德，我问你！《圣国的咏唱》有后续吗？在哪里？”莫娜抱着看不到后续绝不罢休的决心问道。

“噢，噢您可真是问对人了。如果你们想找第二卷，得去高塔顶楼，有条密道能让各位迅速抵达那里，只要你们在那边的山洞里仔细找找。”自封「渴望被问路的阿诺德」之名的夜鸦高兴地答道。

“好，谢谢你阿诺德。”

“是渴望被问路的阿诺德，不是阿诺德！”

为了不让光辉暗淡，我要施展这最后的魔法。

\[\forall y \exists x Q(x, y) \rightarrow \exists x \forall y Q(x, y) \tag 2 \]

• 第二幕的有效阵形为\((2)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(2) = M^Q\)

• \(M^Q\)为01方阵，含义见要求

• 只要\(M^Q\)所表达的指派构成\((2)\)式的反例即可得分

第三幕

“呵…壮丽又脆弱，庞大又胆怯…令我赞叹，也让我作呕！”

绮梦并非毫无代价，美丽的花朵常诞生于荆棘丛——在皇女的评判中，第三幕述说着它的注脚。数百年前，幽夜净土被不祥之气覆盖，圣国的主人却像失去了治国的兴趣一般，未采取任何行动。来自现实的诘难接踵而至，令那金碧辉煌的圣国也笼上恐惧与懦弱的阴霾。

“救世的主宰者…皇女殿下。她一定会想起这里本是怎样的乐土，为了她，我们要仿照预言，献上戏剧。所以我站出来，扮演勇士。我愿走过千难万险，踏过刀山火海…去向她献上我的真心。”第三幕的最后，勇敢却又有些冒失的莱昂向一行人述说他的祝愿与真心。

倘若解开那日重重的谜题，我便能将你救赎吗？

\[\neg \exists x(\neg P(x) \land \neg Q(x)) \rightarrow \neg (\exists x (\neg P(x)) \land \exists x (\neg Q(x))) \tag 3 \]

• 第三幕的有效阵形为\((3)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(3) = L^P, L^Q\)，其中

• \(L^P, L^Q\)为只含01的列表，含义见要求

• 只要\(L^P, L^Q\)所表达的指派构成\((3)\)式的反例即可得分

第四幕

错过了第三幕的阿斯托洛姬斯·莫娜·梅姬斯图斯小姐和大家终于找到了戏剧的主人——降临于此世的断罪之皇女菲谢尔。不是一个，而是两个。

“影子？对…我们之间确实如此。你是来向我投降的吗？小艾咪。”

另一位菲谢尔——她诞生自黑暗，正君临此地主宰幽夜净土的一切。

“不妨告诉各位，幽夜净土是有来无回的地方。你们来到这里，就要被我征服，成为我的奴隶。幽夜净土是为无法面对现实之人准备的坟墓。你会葬身此地，我则带着我们幻想出来的奥兹，永居王城。”

“幻想出如此庞大的国度，却不能承受。对自身创造的事物感到动摇，就算再怎么逃避，也无法改变你自己。是因为你无法真正抵达这里，我才降临于此，代行职责。幽夜净土现今是我的东西，轮不到你来指手画脚！”

“我，我…”菲谢尔脸上写满了困窘与颓唐。

“自己骂自己还能骂得这么精彩，看来这件事困扰你很久了呢。”梅姬斯图斯卿露出一丝占星术士的不屑。

在你创造的幻想中，我看到了爱。

在吾等之黄金乡哟，静静地安息。

\[\exists s \exists t \forall y \exists x \forall z \forall w \big( (R(x, z) \oplus R(w, y)) \\ \lor (y=z) \lor (z=s) \lor (x=w) \land (w=t) \big) \tag {4.1} \]

• 作为《圣国往生录》的最终章，也是最高潮部分，第四幕出现了皇女菲谢尔殿下内心最纠结之对立面。谓词\(R(x, y)\)是由另一位菲谢尔控制的，满足\((4.1)\)式的任何一个谓词，夜鸦们需要组成一个对任意\(R(x, y)\)都有效的阵形，才能真正重建家园，到达那个天气晴朗、海面平静又美丽的真实。

• \((4.1)\)式中，\(x=y\)是一个二元谓词，其值当且仅当\(x,y\)取同一个元素时为真，例如：\(\sigma(0=0)=1, \sigma(1=0)=0\)。

\[\forall x \forall y \big( P(x, x) \oplus R(x, x) \oplus P(y, y) \oplus R(y, y) \oplus 1 \big) \tag{4.2} \]

• 第四幕的有效阵形为\((4.2)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(4) = M^P\)，其中

• \(M^P\)为01方阵，含义见要求，在夜鸦们摆好阵形后，另一位菲谢尔小姐会构造一个代表\(R\)的同阶方阵\(M^R\)来阻止反例的形成。

• \(M^P\)所表达的指派对于另一位菲谢尔可能给出的任意满足\((4.1)\)式的\(R(x, y)\)均构成\((4.2)\)式的反例才可得分。同时，\(M^P\)的阶数应尽可能小，\(M^P\)与标程同阶或低阶时得满分，每多一阶扣一分，本幕分数扣完为止。答案错误不得分。

尾声

”不可能，你竟然能通过那个噩梦般的图书馆…给我退下！”诞生自黑暗的皇女有些神色慌张。

“…现在，你还觉得我会输吗？”菲谢尔看上去非常生气。

“你看不起我，觉得我懦弱，渺小。我是有过那样的日子，因为…我是一个不能面对现实，成天做白日梦还不堪一击的人。可现在我明白了，在看到这片幻境的一瞬间，我就想明白了。看到外面那么惊人的幻象了吗？无比庞大，无比美丽…这就是我的想象力，我力量的根源。你似乎很自大，黑暗的东西总是很狂妄。但不应该是这样的。你根本不是一个完整的皇女，只是钻在我影子里沾沾自喜的灰尘！你才是失败者，那个拖我后腿的人！懦弱，所以浑身尖刺，胆小，所以靠自暴自弃来伪装。这样的你…比我更弱小。”

“还给我！”菲谢尔怒道。

“什…什么？”另一位皇女浑身发颤，说话都不太利索了。

“把属于我的东西还给我！幽夜净土、王城、子民…还有还有最重要的，我的伙伴，奥兹！”

“哎呀，小姐竟然能说出如此流利又极富气魄的话语，您当真成长为皇女了呢。”奥兹华尔多·赫芙那梵茵斯书记官真诚而又平静地接过话茬。

“还敢说话，你这个叛徒！”

“不，小姐，我之所以在这里，是为了向各位证明一件事。” 奥兹继续说道，“众所周知，奥兹会跟随断罪之皇女菲谢尔。二位既然都是菲谢尔，我出现在谁的身边都不要紧才对。”

“可是您看，当我站在这一边的时候，您也没有失去自己的身份不是吗？”

“我的身份？”菲谢尔有些疑惑。“您认为，「菲谢尔」究竟是什么？这是我给小姐您的问题。”奥兹继续说道。“欸？菲谢尔…是…”

“是生活的失败者，一个心怀恐惧的胆小鬼，无法面对幻想之外缺乏谎言的自己。”另一位菲谢尔斩钉截铁道。“不，您说得不对。”奥兹却这样说。

“菲谢尔…是…我？”我们所认识的这位菲谢尔小姐喃喃道。“噢，反应很快。”奥兹赞许地说。

“欸？就这么简单？”

“这才对，小姐。菲谢尔，或许是断罪之皇女，却不总是。或许勇敢高傲，却也胆小懦弱。“奥兹解释道：”菲谢尔是您自己。既高贵又平凡，是水平一流可总也交不到太多朋友的冒险家，是不可思议之国的皇女殿下。菲谢尔，既胆小又强大，惧怕他人的闲言碎语，也渴望得到他人的崇敬。更重要的是…菲谢尔，是一个常在心中自我批判，被自己打败无数次，又无数次站起的进取者。”

“小姐，除了您，没有人当得起菲谢尔这个名字。它是复杂而单纯的符号，指向梦想与自由之美。无论是否受人追随，小艾咪就是菲谢尔。菲谢尔是您——在心中无意识写下那句箴言的贤明之人。”

“…「令我的子民自由，不囿于古老法则。」”

“感谢您创造幽夜净土，为我等搭建家园，又于潜意识中写下《圣国的咏唱》，使我等永远坚信光明将到来。”

“现在，殿下，请接受您的黑暗，恢复成原本的姿态吧。”

解析

没有爱就看不见

P1

直接构造前件为真，后件为假的情况即可。比如可令\(P(x,y)\)永真、\(Q(x,y)\)永假。

P2

构造时满足「对于任意的\(y\)」存在「不同的\(x\)」满足\(P(x, y)\)即可。比如

\[P = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) \]

P3

注意到如下等价转换

\[\neg \exists x(\neg P(x) \land \neg Q(x)) \rightarrow \neg (\exists x (\neg P(x)) \land \exists x (\neg Q(x))) \tag 3 \\ \Leftrightarrow \exists x (\neg P(x)) \land \exists x (\neg Q(x)) \rightarrow \exists x(\neg P(x) \land \neg Q(x)) \\ \Leftrightarrow \neg \forall x P(x) \land \neg \forall x Q(x) \rightarrow \neg \forall x (P(x) \lor Q(x)) \]

于是，构造并非永真的谓词\(P(x), Q(x)\)，使得\(P(x) \lor Q(x)\)永真即可。不妨采用分割的办法，把一个永真谓词「拆」成\(P(x),Q(x)\)。比如

\[P = (1, 0, 0)\\ Q = (0, 1, 1) \]

P4

“哦？想不到这异世的土地上也能诞生出这么有趣的游戏呢。虽然远比不上妾身的猫箱，却也称得上让人眼前一亮。“黄金的魔女、无限的魔女贝阿朵莉切此刻正慵懒地躺在六轩岛那气派的庄园客厅里柔软舒适的沙发上。

那是一个玫瑰盛开的午后，多亏嘉音的悉心打理，园中的花朵开得灿烂极了。屋内，战人和贝阿朵正饶有兴致地看着这道来自异世的谜题。

“两个小艾咪？哈哈，真不知道你是从哪弄来的题目，我的贝阿朵。”战人笑得像个孩子。

“别忘了，妾身可是可怕的魔女呢！“贝阿朵一脸的得意。

复杂的事物往往有着极其简单的核心，这道题也不例外。解决这道题最关键的一点在于，弄清\(R(x,w)\oplus R(z,y)\)有什么性质。即然这道题只涉及主对角线，那我们首先讨论\(R(x, y)\)在主对角线上具有的性质，然后再考虑如何构造式\((4.2)\)的反例。

关于\((4.1)\)式，首先考虑对于每个\(y\)，应满足何种约束。

考虑\(y=s\)时的退化形式，如下\((4.1')\)式意味着什么

\[\exists y\exists x \forall z \forall w \big( (R(x, z) \oplus R(w, y)) \lor y=z \big) \tag {4.1'} \]

分别取定\(z/w\)，枚举\(w/z\)可知，除\((x,y)\)处以外，所有的\(R(x,z), z=0, 1, 2, \cdots\)和所有的\(R(w, y), y = 0, 1, 2, \cdots\)分别相等，而\(R(x, z)\)和\(R(w, y)\)的值分别相反。于是得到：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

另一种情况省略，下同。

“十字排布？也不过如此嘛。啧，比起你的环形密室还真是差得远呢！”战人一边谢过沙音端来的咖啡，一边吮着咖啡说道。

“这才刚开始呢，可不要轻敌啊我的战人君。“无限的魔女轻声劝诫着她的爱人。不过嘛，任谁都喜欢被夸，魔女也不例外，于是本该平淡的声音里出现了一丝笑意的波澜。

我们取定\(y=s, x=t\)，这时，\((x,y)\)处的约束变为

\[\forall z \forall w \big( (R(x, z) \oplus R(w, y)) \lor y=z \lor x=w \big) \tag {4.1''} \]

这导致\(R\)在\((x, y)\)处的真值可以任意指定：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

(i). 考虑如果还有\(x_2 \neq x\)使得\(x_2, y\)也满足\((4.1')\)式，那么：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

此时，若继续构造，使\(R\)满足\((4.1)\)式，则出现如下情况：

\[R = \left(\begin{matrix} 1 & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

无法满足\((4.1)\)式。

(ii). 接着讨论不存在上述\(x_2\)满足条件的情况。考虑如果对于某个\(y_2 \neq y\)，也有\(x_2\)满足\((4.1')\)式，可能有哪些情况：如果\(x_2 = t\)，那么

\[R = \left(\begin{matrix} 0 & & 0 & & \\ 0 & & 0 & & \\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ 0 & & 0 & & \\ 0 & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

如果\(x_2 \neq t\)那么

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ & & 0 & & 1\\ & & 0 & & 1\\ \end{matrix}\right) \\ \]

注意到此时如果还有\(y_3 \neq y \land y_3 \neq y_2\)以及对应的\(x_3\)满足\((4.1')\)式，则必有\(x_3 = t\)，因此\(R\)中至多有一列和一排\(1\)，其余位置全\(0\)（当然，或者反过来）。

“啊唷！原来还有第二个十字啊……“样貌俊朗的公子望着眼前的推理结果露出了惊讶的表情。

“哦我的小傻瓜，妾身刚刚说什么来着？“魔女的话音带着妩媚，听得战人君不好意思地摸着后脑勺附和地笑起来。

考虑\(R\)在主对角线上的性质，显然有：\(R\)在主对角线上可以有零或一或二个1，其余全0（或反之）。显然，即使有另外一组\(s,t\)使\((4.1)\)式为真，\(R\)也仍然满足上述条件。不过似乎s和t至多只能有一组

\[R_0 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & \\ & 0 & & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & & 0 & \\ & & & & 0 \\ \end{matrix}\right), R_1 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & \\ & 0 & & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ & & & 0 & \\ & & & & 0 \\ \end{matrix}\right), R_2 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & 1 \\ & 0 & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 1 \\ \end{matrix}\right) \]

得到\(R(x,y)\)在对角线上的性质后，我们分析式\((4.2)\)。构造辅助谓词\(Q(x) = P(x, x) \oplus R(x, x)\)，注意到如下等价关系：

\[\begin{aligned} &\forall x \forall y \big( P(x, x) \oplus R(x, x) \oplus P(y, y) \oplus R(y, y) \oplus 1 \big)\\ \Leftrightarrow & \forall x \forall y \big( Q(x) \oplus Q(y) \oplus 1 \big) \\ \Leftrightarrow & \forall x \forall y \neg \big( Q(x) \oplus Q(y) \big)\\ \Leftrightarrow & \neg \exists x \exists y \big( Q(x) \oplus Q(y) \big) \end{aligned} \tag {4.2} \]

因此，只需构造\(P(x, y)\)使其对任意\(R(x, y)\)均满足\(\exists x \exists y \big(Q(x) \oplus Q(y)\big)\)即可。

考虑\(\oplus R(x, y)\)对\(P(x, x)\)的影响，由\(R(x, y)\)在主对角线上的性质可知，\(\oplus R(x, y)\)这一操作会使\(P(x, y)\)中的零或一或二个主对角线元素发生翻转或留下零或一或二个主对角线元素不发生翻转。

而要使得\(\exists x \exists y \big(Q(x) \oplus Q(y)\big)\)，就要保证翻转后的主对角线上同时有\(0\)和\(1\)。显然，这要求\(P(x, y)\)的主对角线上，\(0\)和\(1\)各至少有三个，因此最低阶数为「六」。

“将军！“贝阿朵莉切满意地放下端着的咖啡，靠在了战人的肩上。战人便轻轻将身旁这位魔女搂住，二人一起享受着这午后的宁静。

忽得，一阵“哈”“哈”的怪响隔着楼板传了过来，原来是嘉音和沙音又在和真理亚小姐玩装死游戏，弄得一旁的管家源次先生也不知怎样才好了呢。

夕阳斜照，海猫群飞，六轩岛上一片祥和。

--THE END--