Week 9 Problems

T1

用等值演算、构造指派等方式判断公式的永真性

(1)

$$(\forall xP(x)\rightarrow \exist xQ(x))\rightarrow\exist x (P(x)\rightarrow Q(x) )$$

(2)

$$(\forall x P(x)\rightarrow \forall x Q(x))\rightarrow \forall x (P(x)\rightarrow Q(x))$$

T2

以下哪一步出现错误？

$$\begin{aligned} & \forall x(G(x)\lor H(x))\\ \models & \neg\neg\forall x(G(x)\lor H(x)) & 1\\ \models & \neg\exists x\neg(G(x)\lor H(x)) & 2\\ \models & \neg\exists x(\neg G(x)\land\neg H(x)) & 3\\ \models & \neg(\exists x\neg G(x)\land \exists x\neg H(x)) & 4\\ \models & \neg\exists x\neg G(x) \lor \neg\exists x\neg H(x) & 5\\ \models & \forall x G(x)\lor \forall x H(x) & 6 \end{aligned}$$

A: 3	B: 4	C: 5	D: 6	E: 没有错误

T3

前束范式$A$的无$\forall$前束范式$A'$的递归定义如下

1. 若$A$不含$\forall$量词，则$A'$是$A$

2. 若$A$是$\forall y B$，则$A'$是$(B^y_a)'$，其中$a$是$B$所不包含的常元

3. 若$A$是$\exists x_1\exists x_2\cdots \exists x_n\forall yB$，则$A'$是$\left(\exists x_1\exists x_2\cdots \exists x_nB^y_{f(x_1,x_2,\cdots x_n)}\right)'$，其中$f$是$B$所不包含的函词

证明前束范式$A$是永真式当且仅当$A'$是永真式，其中，$A'$是$A$的无$\forall$前束范式