Week 8 Problems 幽夜默示录
请为一切不真实之物感到骄傲，因为我们高于这个世界！
“请不要说出如此缺乏想象力的话，梅姬斯图斯卿。幽夜净土当然是夜鸦的国度。”说着，尊贵的书记官奥兹华尔多·赫芙那梵茵斯为一行人打开了礼堂的大门。在礼堂的中央，无数夜鸦的环绕簇拥下，断罪的皇女菲谢尔·冯·露弗施洛斯·那菲多特庄严宣告：“欢愉吧，我的子民！此刻，吾将在此重建幽夜！为了诏示世界的真理，就将这残破与毁灭，呈现于本皇女面前！”
“小姐的意思是，对于每个谜题，都需要找到一个反例。”奥兹适时地补充道。
简单来说，《圣国往生录》是一部由断罪的皇女菲谢尔亲自编写并携众夜鸦出演的四幕剧，讲述了皇女带领夜鸦冲破重重阻碍，破解古老谜题，重建残破家园的故事。
「令我的子民自由，不囿于古老法则。」
每一幕中，皇女和夜鸦们都会遇到一个谜题，夜鸦们需要排成有效的阵形来形成反例，进而破解谜题。只有成功破开谜题才能让演出进行下去。异世的旅者啊，我想知道，哪些阵形才是有效阵形呢？
要求
\(i\)代表第\(i\)幕，对于\(\forall i \in \{1, 2, 3, 4\}\)，请给出第\(i\)幕中的有效阵形。如有多解，则任返回一个即可。每幕6分，总分20分。
每一幕所要求的阵形都不相同，你可能需要返回列表也可能需要返回矩阵，具体要求见后文。尽管形状可能不同，但每个阵形都代表一个指派，列表是对形如\(P(x)\)的谓词的指派，矩阵是对形如\(P(x, y)\)的谓词的指派。列表和矩阵中每个元素的含义是：
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每个元素只能为\(1\)或\(0\)，分别代表这个元素所在的位置有或没有夜鸦。
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列表中第\(i\)个位置有夜鸦代表\(P(i) = 1\)，没有则代表\(P(i) = 0\)。
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矩阵中第\(i\)行第\(j\)列的位置有夜鸦代表\(P(i, j) = 1\)，没有则代表\(P(i, j) = 0\)。
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列表的长度为\(n\)，代表变元只能在\(\{0, 1, \cdots, n-1\}\)中取值。
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矩阵为\(n\times n\)的方阵，代表变元只能在\(\{0, 1, \cdots, n-1\}\)中取值。注意，矩阵只能为方阵。
你需要根据上述含义构造出有效的矩阵或列表作为答案，祝答题愉快。
HINT
“没错，这是一道提交答案题，”天才的占星术士梅姬斯图斯卿略显不耐烦地向你解释道，“那个良心出题人不要求过程，你只要把答案填进去就行了。”
“嗯对，借用了线性代数的记号，你看得懂吧？”似乎是厌倦了回答问题，年轻的占星术士径直向剧场走去。
第一幕
邪龙塔斯拉克潜入地下，越过海底，游走至王城之上。臣民知其危险，向救世的主宰祈祷。皇女殿下降临，大战不免祸及王城。最终，她以圣裁的雷电击穿龙鳞，在龙血凝成的暴雨中演讲。她说道：“令……
音乐戛然而止，第一幕以一种略显戏剧化的方式落下帷幕。
“不对不对，怎么回来了呀！故事还没听完呢！”派蒙一脸的失落。
“这种感觉，糟透了，就像买到假冒伪劣占星教程，或是晚餐吃到一半发现忘带钱包…”天才的占星术士莫娜小姐发自内心地补充道。
“啊——！好难受啊！”阿斯托洛吉斯·莫娜·梅姬斯图斯女士发出了少女受难的呻吟。
邪龙也曾渴望夜色与幻梦，却直到生命最后一刻才如梦初醒，毁坏其全部梦想与渴望的，竟是自己这副躯壳。
睡吧，睡吧，静静地睡吧。在我塑造的梦境里，你便可以自由飞翔。
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第一幕的有效阵形为\((1)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(1) = M^P, M^Q\)
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\(M^P, M^Q\)为同阶01方阵，含义见要求
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只要\(M^P, M^Q\)所表达的指派构成\((1)\)式的反例即可得分
第二幕
“令我的子民自由，不囿于古老法则。”
随着皇女殿下庄严宣告，第二幕伴着似有黄金般魔法的舞曲徐徐展开。捡起石头，搭出城堡与乡镇，铺上山岭与海洋。我等金碧辉煌的王国，是狭小又禁忌的乐土。臣民朝拜她，她回答：“为本皇女献上庆典，到旷野中演出戏剧。向我叩拜，向我献上纯净之幻梦以换取永夜荣光。”
与此同时……
“渴望被问路的阿诺德，我问你！《圣国的咏唱》有后续吗？在哪里？”莫娜抱着看不到后续绝不罢休的决心问道。
“噢，噢您可真是问对人了。如果你们想找第二卷，得去高塔顶楼，有条密道能让各位迅速抵达那里，只要你们在那边的山洞里仔细找找。”自封「渴望被问路的阿诺德」之名的夜鸦高兴地答道。
“好，谢谢你阿诺德。”
“是渴望被问路的阿诺德，不是阿诺德！”
为了不让光辉暗淡，我要施展这最后的魔法。
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第二幕的有效阵形为\((2)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(2) = M^Q\)
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\(M^Q\)为01方阵，含义见要求
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只要\(M^Q\)所表达的指派构成\((2)\)式的反例即可得分
第三幕
“呵…壮丽又脆弱，庞大又胆怯…令我赞叹，也让我作呕！”
绮梦并非毫无代价，美丽的花朵常诞生于荆棘丛——在皇女的评判中，第三幕述说着它的注脚。数百年前，幽夜净土被不祥之气覆盖，圣国的主人却像失去了治国的兴趣一般，未采取任何行动。来自现实的诘难接踵而至，令那金碧辉煌的圣国也笼上恐惧与懦弱的阴霾。
“救世的主宰者…皇女殿下。她一定会想起这里本是怎样的乐土，为了她，我们要仿照预言，献上戏剧。所以我站出来，扮演勇士。我愿走过千难万险，踏过刀山火海…去向她献上我的真心。”第三幕的最后，勇敢却又有些冒失的莱昂向一行人述说他的祝愿与真心。
倘若解开那日重重的谜题，我便能将你救赎吗？
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第三幕的有效阵形为\((3)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(3) = L^P, L^Q\)，其中
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\(L^P, L^Q\)为只含01的列表，含义见要求
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只要\(L^P, L^Q\)所表达的指派构成\((3)\)式的反例即可得分
第四幕
错过了第三幕的阿斯托洛姬斯·莫娜·梅姬斯图斯小姐和大家终于找到了戏剧的主人——降临于此世的断罪之皇女菲谢尔。不是一个，而是两个。
“影子？对…我们之间确实如此。你是来向我投降的吗？小艾咪。”
另一位菲谢尔——她诞生自黑暗，正君临此地主宰幽夜净土的一切。
“不妨告诉各位，幽夜净土是有来无回的地方。你们来到这里，就要被我征服，成为我的奴隶。幽夜净土是为无法面对现实之人准备的坟墓。你会葬身此地，我则带着我们幻想出来的奥兹，永居王城。”
“幻想出如此庞大的国度，却不能承受。对自身创造的事物感到动摇，就算再怎么逃避，也无法改变你自己。是因为你无法真正抵达这里，我才降临于此，代行职责。幽夜净土现今是我的东西，轮不到你来指手画脚！”
“我，我…”菲谢尔脸上写满了困窘与颓唐。
“自己骂自己还能骂得这么精彩，看来这件事困扰你很久了呢。”梅姬斯图斯卿露出一丝占星术士的不屑。
在你创造的幻想中，我看到了爱。
在吾等之黄金乡哟，静静地安息。
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作为《圣国往生录》的最终章，也是最高潮部分，第四幕出现了皇女菲谢尔殿下内心最纠结之对立面。谓词\(R(x, y)\)是由另一位菲谢尔控制的，满足\((4.1)\)式的任何一个谓词，夜鸦们需要组成一个对任意\(R(x, y)\)都有效的阵形，才能真正重建家园，到达那个天气晴朗、海面平静又美丽的真实。
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\((4.1)\)式中，\(x=y\)是一个二元谓词，其值当且仅当\(x,y\)取同一个元素时为真，例如：\(\sigma(0=0)=1, \sigma(1=0)=0\)。
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第四幕的有效阵形为\((4.2)\)式的反例，也就是说，\(\text{opera}(4) = M^P\)，其中
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\(M^P\)为01方阵，含义见要求，在夜鸦们摆好阵形后，另一位菲谢尔小姐会构造一个代表\(R\)的同阶方阵\(M^R\)来阻止反例的形成。
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\(M^P\)所表达的指派对于另一位菲谢尔可能给出的任意满足\((4.1)\)式的\(R(x, y)\)均构成\((4.2)\)式的反例才可得分。同时，\(M^P\)的阶数应尽可能小，\(M^P\)与标程同阶或低阶时得满分，每多一阶扣一分，本幕分数扣完为止。答案错误不得分。
尾声
”不可能，你竟然能通过那个噩梦般的图书馆…给我退下！”诞生自黑暗的皇女有些神色慌张。
“…现在，你还觉得我会输吗？”菲谢尔看上去非常生气。
“你看不起我，觉得我懦弱，渺小。我是有过那样的日子，因为…我是一个不能面对现实，成天做白日梦还不堪一击的人。可现在我明白了，在看到这片幻境的一瞬间，我就想明白了。看到外面那么惊人的幻象了吗？无比庞大，无比美丽…这就是我的想象力，我力量的根源。你似乎很自大，黑暗的东西总是很狂妄。但不应该是这样的。你根本不是一个完整的皇女，只是钻在我影子里沾沾自喜的灰尘！你才是失败者，那个拖我后腿的人！懦弱，所以浑身尖刺，胆小，所以靠自暴自弃来伪装。这样的你…比我更弱小。”
“还给我！”菲谢尔怒道。
“什…什么？”另一位皇女浑身发颤，说话都不太利索了。
“把属于我的东西还给我！幽夜净土、王城、子民…还有还有最重要的，我的伙伴，奥兹！”
“哎呀，小姐竟然能说出如此流利又极富气魄的话语，您当真成长为皇女了呢。”奥兹华尔多·赫芙那梵茵斯书记官真诚而又平静地接过话茬。
“还敢说话，你这个叛徒！”
“不，小姐，我之所以在这里，是为了向各位证明一件事。” 奥兹继续说道，“众所周知，奥兹会跟随断罪之皇女菲谢尔。二位既然都是菲谢尔，我出现在谁的身边都不要紧才对。”
“可是您看，当我站在这一边的时候，您也没有失去自己的身份不是吗？”
“我的身份？”菲谢尔有些疑惑。“您认为，「菲谢尔」究竟是什么？这是我给小姐您的问题。”奥兹继续说道。“欸？菲谢尔…是…”
“是生活的失败者，一个心怀恐惧的胆小鬼，无法面对幻想之外缺乏谎言的自己。”另一位菲谢尔斩钉截铁道。“不，您说得不对。”奥兹却这样说。
“菲谢尔…是…我？”我们所认识的这位菲谢尔小姐喃喃道。“噢，反应很快。”奥兹赞许地说。
“欸？就这么简单？”
“这才对，小姐。菲谢尔，或许是断罪之皇女，却不总是。或许勇敢高傲，却也胆小懦弱。“奥兹解释道：”菲谢尔是您自己。既高贵又平凡，是水平一流可总也交不到太多朋友的冒险家，是不可思议之国的皇女殿下。菲谢尔，既胆小又强大，惧怕他人的闲言碎语，也渴望得到他人的崇敬。更重要的是…菲谢尔，是一个常在心中自我批判，被自己打败无数次，又无数次站起的进取者。”
“小姐，除了您，没有人当得起菲谢尔这个名字。它是复杂而单纯的符号，指向梦想与自由之美。无论是否受人追随，小艾咪就是菲谢尔。菲谢尔是您——在心中无意识写下那句箴言的贤明之人。”
“…「令我的子民自由，不囿于古老法则。」”
“感谢您创造幽夜净土，为我等搭建家园，又于潜意识中写下《圣国的咏唱》，使我等永远坚信光明将到来。”
“现在，殿下，请接受您的黑暗，恢复成原本的姿态吧。”
