Week 7 Problems

写在完全集题目前

在本节题目中，如果我们说一个命题逻辑合式公式\(F\)定义了一个联结词\(\Delta\)，那么这个公式\(F\)中不能出现\(0,1\)。

尽管为了方便我们在缩写定义等众多其他地方允许使用\(0,1\)，但如果我们允许\(F\)中也出现\(0,1\)，则很多联结词集合的表达能力会被增强，导致一些结论不再成立。

T12

证明\(\{\land, \lor, \oplus\}\)不是完全集

T13

证明若\(\{\Delta\}\)为完全集(\(\Delta\)为一个「二元联结词」)，

1. 必有\(1\Delta 1 = 0, 0 \Delta 0 = 1\)
2. 必有\(1\Delta0=0\Delta1\)

T14(选做)

证明真值表列中有「偶数个1」的二元联结词无法表示除「否定」以外的真值表列中有「奇数个1」的联结词

T15(必做)

注意到对于任意指派\(\sigma\)，总有

1. 若\(p^\sigma=q^\sigma\)成立，则\(\sigma(p\lor q) = p^\sigma\)

2. 否则，\(p^\sigma\neq q^\sigma\)成立，从而\(\sigma(p\lor q)=1\)

行于命途的人儿啊，我想请你证明：

对于任意不包含\(\oplus, \leftrightarrow,p,q,(,)\)以外符号的命题逻辑合式公式\(Q\)，

以下两个条件不能同时成立：

1. 若\(p^\sigma=q^\sigma\)，则\(\sigma(Q)=p^\sigma\)

2. 若\(p^\sigma\neq q^\sigma\)，则\(\sigma(Q)=1\)

Hint1: 将\(q\)转化为\(p\)或\(\neg p\)，将\(L\leftrightarrow R\)转化为\(\neg L\oplus R\)

Hint2: 先证明更加一般的结论：两种情况下\(Q\)要么都等值于\(p\)的文字，要么都等值于常量