Week 3 Problems

T1

判断以下说法正误

• “比目鱼有两只眼睛。”是命题

• “y目鱼有四只眼睛。”是命题

• “这句话是假的。”是命题

• “如果比目鱼有两只眼睛，那么独角兽有两只角。”是命题

• “抛开事实不谈，比目鱼难道不是只有两只眼睛吗？”是命题

T2

以下诗句和解释是\(P\rightarrow (Q\rightarrow R), Q\models P\rightarrow R\)的实例，请指出其中\(P,Q,R\)的具体含义。

“花近高楼伤客心，万方多难此登临。” 时局多难是诗人感到伤心的根本原因，正是多难的时局才导致诗人见到楼台花开却感到伤心。

T3

以下文言和解释是\(P\rightarrow Q, Q\rightarrow R \models P\rightarrow R\)的实例，请指出其中\(P,Q,R\)的具体含义。

“王侯将相宁有种乎？”秦朝的残酷统治引发了一系列农民起义，这些农民起义严重动摇了秦朝的统治根基并最终瓦解了秦帝国。

T4

以下数学语句不是推论式\(P\rightarrow Q, Q\rightarrow R\models P\rightarrow R\)的实例，请说明为何该语句不是题给推论式的实例

因为 1<2, 2<3 所以 1<3

T5

将命题符号化，不要使用\(\exists !,\exists!!\)

<1>

设论域为全体学生，将「李华是我们班学习最好的学生」符号化。其中：

1. 常元\(a\)代表李华

2. 谓词\(S(x)\)表示\(x\)是我们班的学生

3. 谓词\(G(x,y)\)表示\(x\)成绩比\(y\)好

4. 谓词\(D(x,y)\)表示\(x,y\)是同一个人

<2>

设论域为全体实数，将「存在唯一偶素数」符号化。其中：

1. 谓词\(E(x)\)表示\(x\)是偶数

2. 谓词\(P(x)\)表示\(x\)是素数

3. 谓词\(x=y\)表示\(x,y\)相等

T6

用合适的联结词将以下函数项级数收敛的定义符号化

对于\(\forall \epsilon>0\)有

对于\(\forall x\in X\)，\(\exists N\in \mathbb N^*\)，使得

对于\(\forall n>N\)，都有\(|S_n(x) - S(x)| < \epsilon\)成立

请将\(\epsilon > 0\)、\(x\in X\)、\(N\in \mathbb N^*\)、\(|S_n(x) - S(x)| < \epsilon\)分别看作关于\(\epsilon\)的一元谓词、关于\(x\)的一元谓词、关于\(N\)的一元谓词和关于\(n,x,\epsilon\)的三元谓词直接使用。

T7

1. 给出一个属于肯定前件的论证式的实例 (\(P\rightarrow Q, P \models Q\))
2. 给出一个属于否定后件的论证式的实例 (\(P\rightarrow Q, \neg Q \models \neg P\))
3. 举一反例说明否定前件的论证式的谬误 (\(P\rightarrow Q, \neg P \models \neg Q\))
4. 举一反例说明肯定后件的论证式的谬误 (\(P\rightarrow Q, Q \models P\))