Week 2 Problems

T1

代换式、替换式

• 求代换式\((P\rightarrow(P\rightarrow Q))[P/P\rightarrow R]\)

• 求替换式\((P\lor R \rightarrow P\lor R\land S)[(P\lor R)/(P\land R)]\)

• 已知\(P,Q,R,S\)是命题逻辑合式公式，\(P\)是\(Q\)的子公式，\(R\)不是\(Q\)的子公式，用\(Q^1\equiv Q[P/R]\)和「替换操作」表达\(Q^2\equiv Q[P/S]\)。考虑另一边，一定可以用\(Q^2\)和替换操作表达\(Q^1\)吗？

  • 替换操作例：\(A[B/C][C/D]\cdots[Y/Z] \equiv_? A[B/Z]\)

T2

计算下列逻辑合式公式的复杂度

1. \(P\land P\land P \land \neg P\)

2. \(0\lor 1 \oplus 0 \lor 1\)

3. \(\neg\forall x\neg P(x, y, z) \land \exists z Q(a,b,c)\)

T3

判断下列说法的正确性

• 谓词逻辑中\(0,1\)通常被看作个体常元而非合式公式，因此属于非逻辑符号

• 若\(c\)是常元，\(t\)是项，则\([c/t]\)是代入实例

• 闭公式拥有它的代入

• 当可以讨论取值时，函词的值是个体，谓词的值不是个体

• 若\(f^n\)是\(n\)元函词，\(t_1, t_2, \cdots, t_m\)是项，则必有\(f^n(t_1, t_2, \cdots, t_m)\)是项

T4

与我们的课程不同，另一种优先级约定如下：

1. \(\forall, \exists\)等量词可与联结词比较优先级，且它们的优先级与\(\neg\)相同

2. 优先级相同时优先计算右侧算符

请完成以下几个问题：

<1> 使用题给约定计算 \(P\land P\land P \land \neg P\)的复杂度

<2> 分别基于题给约定和课程约定补全\(P\rightarrow P\rightarrow P\)中省略的括号，并借助相应的逻辑表达式\(p\rightarrow p\rightarrow p\)的真值情况讨论二者是否等价

<3> 简述两种约定下如何确定量词的辖域(当然更严谨的说法是确定变元出现的辖域)，并简单比较两者的差异

T5

指出以下谓词逻辑合式公式中

• 变元的出现情况和辖域

• 变元\(x\)对公式中自由变元的可代入情况

<1> \(\forall x \exists y P(x,y,z)\)

<2> \(\exists y \forall x Q(x,y,z)\)

<3> \(\forall x(\forall x P(x) \rightarrow Q(x))\)