考纲（确信）

考纲

2024助教占测版

Chapter 1

自然语言命题

  • 什么是命题？

    • 具有 确定的真或假含义 的 陈述句 是命题，并且是 简单命题、原子命题

    • 由 逻辑联结词 联结命题形成的陈述语句是命题，并且是 复合命题

    • 由 量词 约束命题形成的陈述语句是命题，并且是 量化命题

    • 悖论语句 不是命题

    • 命题形式 不是命题（含未知量的语句）

  • 逻辑论证

    • 肯定前件的论证式（真论证）

    • 否定后件的论证式（真论证）

    • 否定前件的论证式（假论证、谬误）

    • 肯定后件的论证式（假论证、谬误）

  • 自然语言命题与逻辑符号表示

    • 相容选言 与 非相容选言 的判别：具体语境中应使用 \(P\lor Q\)还是\(P\oplus Q\)

    • 逻辑关系 与 其他数学关系 的辨析：例如假言三段论不等于传递律，大小关系不属于蕴含关系

    • 会将自然语言符号化：用 量词 和 联结词 「正确翻译」命题含义，清楚何时使用命题逻辑、何时使用谓词逻辑

    • 能给出逻辑论证的自然语言实例

逻辑域、命题逻辑、谓词逻辑中的符号

  • 逻辑对象、真值、变量、运算

    • 逻辑对象=逻辑真值，仅有 真、假 两个，记为 0、1

    • 逻辑真值集合是逻辑真值的集合，即\(\{0,1\}\)

    • 逻辑变量 是在逻辑真值中取值的变量，一般用小写字母表示

    • 逻辑运算 是定义在逻辑域上的运算，类比定义在实数域上的各种运算

    • 逻辑运算有 优先级，特别注意\(\oplus, \rightarrow, \leftrightarrow\)是常见运算中优先级最低的，其中 \(\oplus\)优先级低于\(\lor\)，运算优先级可以被括号改变

    • 逻辑域上有 相等关系\(=\) 和 推论关系\(\models\)

    • 逻辑域 是真值集合、算符集合、关系集合构成的有序元组，注意算符和关系不止课程介绍的这些，因此课本上的符号记法不严谨

  • 真值表与算符性质的研究

    • 会画 算符的真值表 和 逻辑公式的真值表。一般讨论中，「某物的真值表」等价于「真值表中属于某物的表列」，例如“某算符的真值表中有偶数个1”指代该算符的真值表中属于该算符的表列中有偶数个1

    • 掌握通过 添加子公式表列 从而 逐步完成复杂逻辑公式真值表 的方法

    • 会 根据真值表写主析取范式、主合取范式，了解逻辑真值与 命题逻辑极小项、极大项 的关系

    • 会 使用真值表定义新的算符 ，会 使用缩写定义，通过已知算符组合构造未知算符

    • 真值表在研究算符性质时非常有用，关于算符性质的更多内容，第二章中借助真值表有进一步讨论，参见 联结词的完全集

  • 命题逻辑变量、联结词

    • 命题变元是用来指代命题的符号 ，通常用大写字母表示，不等同于逻辑变量

    • 命题逻辑合式公式是有穷符号串，提供指派函数时可讨论其真值

    • 命题逻辑中存在 等价关系 和 推论关系 ，相应的存在 等价式 和 推论式

    • 了解等价式、推论式、公式集合、前提、结论等概念

    • 区分联结词和算符的概念，在讨论公式本身、公式变换时我们用联结词不用算符，在讨论真值、运算时则模糊二者的概念

    • 命题逻辑合式公式的复杂度 的实用含义是从输入命题逻辑变元的取值到输出公式的取值之间有多少次无法并行化的运算，需要注意形如\(P\lor Q \lor R\lor S\lor \cdots\)的公式的运算顺序

    • 代换式 是将原公式中的 命题变元 换为命题逻辑合式公式得到的公式

    • 替换式 是将原公式中的 子公式 换为命题逻辑合式公式得到的公式，会按要求写代换式、替换式

    • 会写 对偶式，清楚 对偶定理、对偶式与De'Morgan律的关系

  • 谓词逻辑量词、函词、变元

    • 了解谓词、量词和函词，区分谓词、函词和命题逻辑变元的概念

    • 会判断 量词/变元出现的辖域 和 变元的约束/自由出现 ，会 使用第1,2,3...次出现区分同名变元的不同出现

    • 会判断 项对于变元是否可代入

    • 理论上不应考察谓词逻辑公式的代换式、替换式，但实际上似乎处在考察范围内

    • 除非特殊说明，不应使用\(\exists!\)和\(\exists!!\)，它们的语义分别是「存在唯一」、「至多存在一个」。两者可以使用的前提是承认等词的存在，而一般题目中我们不默认等词存在，而是提供在一定范围内等效于等词的谓词实例

Chapter 2

命题逻辑合式公式的语义

  • 命题逻辑合式公式的真值情况是不确定的，只有在提供 指派 的前提下才能讨论它们的确切真值

  • 然而，尽管它们的真值通常不确定，但逻辑公式之间却存在确定的真值关系，如 等值关系 和 推论关系 ，利用这些关系可以建立对于逻辑公式的一系列演算

  • 掌握 指派的定义 ，会通过 举出特殊指派 和 分类讨论指派情况 来完成证明

  • 会进行 指派求值，能够区分 公式中的联结词 与 逻辑域上的运算

  • 熟悉 可满足性 的概念；知道 有效式、永真式 与 重言式 的概念，知道 重言式 实际上是 有效式 的真子集，仅在命题逻辑中与 有效式 等价；知道 永假式、矛盾式、不可满足式 的概念

  • 会使用 真值表 定义联结词和验证命题逻辑合式公式的语义，知道 真值表 表达的是逻辑公式真值，并不等同于命题逻辑合式公式的语义

命题逻辑公式变换中的语义

  • 替换式语义、代换式语义的计算
  • 掌握 代换定理、替换定理
  • 掌握 对偶定理，会利用 相反指派 做证明；熟悉对偶式的简单性质
  • 掌握课程介绍的一系列 变换公式基本定理 ，会证明这些定理，会使用这些定理完成证明

推论式、等价式的语义及其演算

  • 会计算给定指派函数下推论式、等价式的真值

  • 掌握 语义推出 的概念：当推论式左半分别为公式、公式序列、公式集合时，语义推出的概念分别如何定义。注意语义推出的定义依赖 任意指派函数 的概念

  • 掌握 逻辑等价 的概念，注意其定义依赖 任意指派函数 的概念

  • 会通过讨论推论式、等价式 在不同指派函数下 的真值证明语义推出、逻辑等价关系成立/不成立

  • 了解熟悉 重要论证式、重要推论式；掌握 重要等值公式模式

  • 掌握 等值演算，会通过 等值公式模式 将给定公式化简、将给定公式转化为给定形式

命题逻辑公式范式

  • 掌握 文字、相反文字、简单合取式、简单析取式、合取范式、析取范式、主范式 的概念
  • 会通过等值演算求合式公式的 析取范式、合取范式，主析取范式、主合取范式
  • 掌握 极小项、极大项 的概念，注意其中命题变元的数量要求。掌握极小项、极大项在真值表中的表现，会通过 看真值表 写命题逻辑合式公式的主范式
  • 了解范式的极限情况：0、1也是范式、主范式；永真/假式的范式及其性质
  • 了解范式的存在性、唯一性、等价的公式拥有相同主范式

联结词的完全集

  • 掌握 公式A定义联结词F、联结词F可由联结词集合S定义、完全集 的概念

  • 掌握 完全集的传递性、极小完全集 的概念，知道常见的完全集、极小完全集

  • 会通过举出特定公式、特定指派证明一个联结词集合不能表示目标联结词，必要时会引入归纳证明

  • 会通过列举不同性质的指派来研究一个联结词集合所能形成的公式的性质

  • 熟悉 与非、或非、非 等本节常见联结词在证明中的使用

Chapter 3

谓词逻辑合式公式语义

  • 了解 重言式，有效式，永真式，可满足式，矛盾式 的概念及其关系

  • 掌握谓词逻辑中「语义推出」的概念

  • 熟悉、会证明谓词逻辑中的常见 等值关系和推论关系，注意推论关系的方向

  • 熟悉演绎定理、反证律；熟悉、会证明谓词逻辑推论关系系列重要定理

前束范式、斯科伦范式及其构造性证明

  • 了解 斯科伦范式 有两种形式，分别是 \(\exists\)前束范式 和 无\(\exists\)前束范式。其中，前者是\(\exists\)量词全部位于\(\forall\)量词辖域以外的前束范式，后者是课程介绍的skolen范式。没有特殊说明的情况下我们所指的skolen范式是后者。
  • 会将一般谓词逻辑合式公式转化为斯科伦范式 ；

解释、结构、模型

  • 了解 一阶理论语言 的概念
  • 熟悉 论域、指派、解释、结构/模型 的概念。语言的结构/模型是「论域和解释」的有序对；解释是指派的推广，它给常量、变量、谓词、函词都确定了实际意义，因此解释和指派统称为指派
  • 了解 关于模型M可满足、不可满足， 公式、公式集合关于模型M的推论 的概念
  • 会借助 解释、结构、模型 的概念构造证明，能够用这种方法证明较为复杂的结论

Chapter 4

形式系统、公理系统的相关概念

  • 了解形式系统的四个组成部分，了解公理系统的四个组成部分，知道定理集通常可省略

命题逻辑公理系统的概念与使用

  • 熟练掌握 三条公理、MP规则、传递律 的使用
  • 了解「证明、定理」的定义，会根据定义完成关于「证明序列」的证明
  • 熟悉课本提供的各定理，常用定理会证明，且能够熟练使用常用定理及其常见组合；不常用定理会证明
  • 会分析复杂定理的证明思路，掌握逆推法，即「从结论入手反向构造证明步骤」的方法
  • 会使用待定公式法构造证明
  • 会利用公式的永真性判断当前证明方向是否正确
  • 会使用演绎定理构造证明，会将演绎定理构造的证明转化为普通证明

谓词逻辑公理系统的概念与使用

  • 熟练掌握 五条公理、MP规则、UG规则、传递律 的使用
  • 熟悉课本提供的各定理，常用定理会证明，且能够熟练使用常用定理及其常见组合；不常用定理会证明
  • 会分析复杂定理的证明思路，掌握逆推法，即「从结论入手反向构造证明步骤」的方法
  • 会使用待定公式法构造证明
  • 会利用公式的永真性判断当前证明方向是否正确

Chapter 5

元定理——描述形式系统的定理

  • 掌握 可靠性、完全性 的概念，知道满足可靠性、完全性的公理系统 分别能推导出哪些定理
  • 掌握 协调性、一致性 的概念，协调性是对公式集合而言的，一致性是对公理系统而言的
  • 掌握 独立性 的概念，具有独立性意味着公理集合不能被简化
  • 了解 理论、模型 的概念，理论是语句(不含自由变元的公式)集合，模型是语言上的结构
  • 了解 普遍有效 的概念
  • 掌握 可判定、不可判定、半可判定 的概念，注意半可判定是不可判定的子集
  • 知道常见推理系统、理论的可判定性
  • 掌握 能行可判定 的概念，其核心是能在「有限步」内给出答案
posted @ 2024-03-01 21:47  fallqs  阅读(622)  评论(0)  编辑  收藏  举报