机器人运动学（二）-欧拉角

书接上文，本篇文章主要介绍欧拉角
学习参考资料
# 旋转变换（二）欧拉角
# 「 SLAM lesson-3.4 」欧拉角度定义、应用、缺点
# 欧拉角细节/旋转顺序/内旋外旋

欧拉角

欧拉角来自欧拉旋转定理

在三维空间里，假设一个刚体在做一个旋转的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。

换句话讲，三维空间中任意旋转都可以用绕某点旋转的三个角度来表示

然而想要规范地使用欧拉角，还需要搞清楚以下几个问题：

1.三个旋转角的组合方式
2.参照的坐标轴
3.三个旋转角如何记

1.旋转角的组合

欧拉角一般具有两大类表示方式，按照旋转次序又分为6小类

Proper Euler angles（z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z，x-z-x，y-x-y）
Tait-Bryan angles（x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z）

一般使用Tait-Bryan angles

2.内旋/外旋

现假设世界坐标系XYZ中存在一个物体，物体相对自己的坐标系xyz，初始状态下，XYZ与xyz重合，当物体旋转的同时，相对物体的坐标系xyz也随之旋转。

因此有内旋外旋的区别： 外旋按照坐标系XYZ旋转，内旋按照坐标系xyz旋转。

3.三个旋转角的记法

顺序	飞行器	望远镜	符号	角速度
第一	heading	azimuth	$\theta$	yaw
第二	attitude	elevation	$\varphi$	pitch
第三	bank	tilt	$\psi$	roll

如图

在欧拉角中，较常用“偏航-俯仰-滚转”(yaw-pitch-roll)三个角度来描述一个旋转

在解决了这三个问题后，描述一个能表示确定姿态/旋转的欧拉角，形式应类似下述例子：

旋转角度($\alpha ,\beta ,\gamma )$，旋转顺序(z->y->x)，外旋

4.欧拉角的缺点-连续与万向锁问题(Gimbal lock)

对于 连续的旋转 ，这边要指出：
如果有两组旋转角$({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1)$与$({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2)$，并不能够用一组旋转角$({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_1+{\beta }_2,{\gamma }_1+{\gamma }_2)$来表示两次连续的旋转。

万向锁问题(Gimbal lock) 是欧拉角的一个重大缺点：在仰俯角为$\pm {90}^{\circ }$的时候，两个旋转轴重合，系统会丢失一个旋转的自由度。
理论上可以证明，只要我们想用三个实数表达三维旋转的时候，就不可避免地碰到奇异性的问题。

这边从数学意义上去理解，顺带引出欧拉角的旋转矩阵表示

旋转角度($\alpha ,\beta ,\gamma )$，旋转顺序(x->y->z)，内旋

很容易得到其旋转矩阵为$R_x(\alpha )\ast R_y(\beta )\ast R_z(\gamma )$

$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

当$\beta =\frac{\pi }{2}$的时候

$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$R=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ -\cos \alpha & \sin \alpha & 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \sin (\alpha +\gamma )& \cos (\alpha +\gamma )& 0\\ -\cos (\alpha +\gamma )& \sin (\alpha +\gamma )& 0\end{array}\right]$$

可以看到，这个情况下，修改$\alpha$与修改$\gamma$效果是一样的，也就是出现了万向锁问题

这边顺带提一嘴：每种特定顺序的外旋等价于其相反顺序的内旋

既然欧拉角有如此问题，下一篇文章将学习另一种描述三维旋转的方式——四元数
欲知后事如何，且听下回分解!─=≡Σ(((つ•̀ω•́)つ