P1092[NOIP2004 提高组] 虫食算 题解
虫食算
题意
给出三个数\(a,b,c\)，每个数的位数为n（可能有前导\(0\)），这三个数是\(n\)进制数，求出唯一解可以满足\(a+b=c\)。（即求出这\(1到n\)个位置的唯一量，保证\(0-(n-1)\)有且仅出现一次）
分析
\(n<=26\)
- 我看到这个n之后认真想了一下为什么是26，一开始我算了一下26的阶乘：403,291,461,126,605,635,584,000,000 。发现这完全不是用来卡全排列的意思，后来我恍然大悟，这完全是因为数据规模大小差不多合适，而且只有26个字母......
- 然后开始分析题目。正如上一段话中26！的大小，很显然朴素算法爆了（不看也知道<_<），所以针对于搜索，我们思考可不可以进行优化。
搜索
- 先思考怎么搜索：
-
- 枚举每一个空闲字母，从剩下的0到\(n-1\)中枚举一个没用的给它；
- 直到n个全部枚举结束
- 进行判断，输出。
- 很显然，我们需要进行剪枝，怎么想？
-
- 首先这是加法，不然你是几进制，一次一位加法，你一定最多往前补1，原因：对于每一位，最大为\(n-1\)，两个相加：\(2n-2\)，他只能向前+1，而\(2n-2+1\)仍旧\(<2n\)，这很显然。
- 所以我们可以判断：\(number[a[i]]+numbei[b[i]]==number[c[i]]\)或\(number[a[i]]+numbei[b[i]]+1==number[c[i]]\)是不是都不成立，如果都不成立，就可以跳过
- 但是又能发现：我们从A搜索到A+n-1，还是会超时，例如：A+n-1是第一位，依次向后，第二行随即构成，然后第三行找一个可以满足的，尽量让A+n-1大，这样我们算法修正次数会阶乘级别递增，会挂（luogu有这种数据），那么怎么优化？
- 整体式子，从后向前按出现次序来枚举，例如：ABCED+BDACE=EBBAA，我们从后向前，依次把DE,C,A,B进行枚举，这样即使我们的枚举出现错误，我们需要退回最后，带来的代价也仅限到当前枚举位数的阶乘，而不是从头到尾再一次重新枚举。同时，我们从后向前，按位来枚举，每一次一列枚举完可以立刻进行\(check\)，而从前往后，可能真的必须把n个全部填满才可以\(check\)。样例就是这种情况。
代码实现
第一步，预处理
我们把A,B,C,D...A+n-1用tag[N]给他编号，这样枚举的时候可以直接取，同时编号大小也是按照出现顺序排序的。原因也很简单，我们dfs习惯写法是从0到n-1来顺次写，那么tag按照从后向前顺序进行编号，我们每次按照dfs(Now)的Now位置的tag赋值，可以有效从后向前按出现次序赋值，进行优化。
inline int id(char c) {
return c-'A';
}
void add(int x) {
if(vis[x]==0) {
vis[x]=1;
tag[cnt++]=x;
}
return;
}
scanf("%d",&n);
cin>>s1>>s2>>s3;
for(int i=0;i<n;i++) {
a[i]=id(s1[i]);
b[i]=id(s2[i]);
c[i]=id(s3[i]);
}
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
add(a[i]);
add(b[i]);
add(c[i]);
}
memset(num,-1,sizeof num);
\\注意，由于我们数字赋值是从0到n-1，所以num初值为-1
memset(vis,0,sizeof vis);
剪枝&边界到达后的check
详情见上文
bool check() {
int k=0;
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
if((num[a[i]]+num[b[i]]+k)%n!=num[c[i]]) return 0;
k=(num[a[i]]+num[b[i]]+k)/n;
//进位
}
return 1;
}
bool check2() {
if(num[a[0]]+num[b[0]]>=n)
return 0;
//首位有进位则退出
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
if(num[a[i]]==-1||num[b[i]]==-1||num[c[i]]==-1)
continue;
if((num[a[i]]+num[b[i]])%n!=num[c[i]]&&(num[a[i]]+num[b[i]]+1)%n!=num[c[i]])
return 0;
//每一位进行演算，注意，这个是宽泛的，而非唯一的，所有这个check2只能剪掉一部分，原因是无法判断前一列到底会不会进行进位
}
return 1;
}
总代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt;
int a[27],b[27],c[27];
int num[27],tag[27];
string s1,s2,s3;
bool vis[27];
inline int id(char c) {
return c-'A';
}
void add(int x) {
if(vis[x]==0) {
vis[x]=1;
tag[cnt++]=x;
}
return;
}
bool check() {
int k=0;
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
if((num[a[i]]+num[b[i]]+k)%n!=num[c[i]]) return 0;
k=(num[a[i]]+num[b[i]]+k)/n;
}
return 1;
}
bool check2() {
if(num[a[0]]+num[b[0]]>=n)
return 0;
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
if(num[a[i]]==-1||num[b[i]]==-1||num[c[i]]==-1)
continue;
if((num[a[i]]+num[b[i]])%n!=num[c[i]]&&(num[a[i]]+num[b[i]]+1)%n!=num[c[i]])
return 0;
}
return 1;
}
void print() {
for(int i=0;i<n-1;i++)
printf("%d ",num[i]);
printf ("%d",num[n-1]);
}
void dfs(int u) {
if(!check2())
return;
if(u==n)
if(check()){
print();
exit(0);
}
for(int i=n-1;i>=0;i--)
if(vis[i]==0) {
num[tag[u]]=i;
vis[i]=1;
dfs(u+1);
num[tag[u]]=-1;
vis[i]=0;
}
return;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
cin>>s1>>s2>>s3;
for(int i=0;i<n;i++) {
a[i]=id(s1[i]);
b[i]=id(s2[i]);
c[i]=id(s3[i]);
}
for(int i=n-1;i>=0;i--) {
add(a[i]);
add(b[i]);
add(c[i]);
}
memset(num,-1,sizeof num);
memset(vis,0,sizeof vis);
dfs(0);
return 0;
}
