群论（基本）

（Upd 2021.07.19 关于一些定理的补充和证明，school）

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简介

群论，是数学概念。在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

群论是法国数学家伽罗瓦（Galois）的发明。伽罗瓦是一个极具传奇性的人物，年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中。

伽罗瓦
他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人也对群论作出了贡献。
最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。

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群论

我们将满足以下性质的集合成为群：

• 封闭律：\(a,b\in S, ab\in S\)
• 结合律：\(a(bc)=(ab)c\)
• 幺元：$\exist e\in S ,\forall b\in S,eb=be=b $
• 逆元：\(\forall a\in S,\exist b\in S,ab=e\)

子群定义

若\((S,·)\)是群，\(T\)是\(S\)的非空子集，且\((T,·)\)也是群，则称\((T,·)\)是\((S,·)\)的子群。

一种特殊的群：阿贝尔群（交换群）
满足性质：\(ab=ba\)

值得注意的是：群论中，群的运算：乘法是经过重新定义的，并非代数中的数乘。

群的举例：
自然数集 N ，乘法：数乘。这就是一个简单的群。

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置换群

用途：将元素进行交换。

置换的定义

有限集合到自身的双射（逻辑上的一一对应关系）成为置换。\(S={a_1,a_2,...,a_n}\)上的置换可以表示为：

\[f=\left( \begin{aligned} a_1,a_2,...,a_n \\ a_{p1},a_{p2},...a_{pn} \\ \end{aligned} \right) \]

意为将\(a_i\)映射为\(a_{pi}\)，其中\(p1,p2,...,pn\)式\(1,2,...,n\)的一个排列。显然\(S\)上的所有置换的数量为\(n!\)。

置换的乘法

对于两个置换\(f=\left( \begin{aligned} a_1,a_2,...,a_n \\ a_{p1},a_{p2},...a_{pn} \\ \end{aligned} \right)\) 和\(g=\left( \begin{aligned} a_{p1},a_{p2},...a_{pn} \\a_{q1},a_{q2},...a_{qn}\end{aligned} \right)\)，\(f\)和\(g\)的乘积记为\(f{○}g\)，值为：

\[f{○}g=\left( \begin{aligned} a_1,a_2,...,a_n \\ a_{q1},a_{q2},...a_{qn} \\ \end{aligned} \right) \]

（注意一下，式子内的p,q，不要看成全是p。。。。。。）

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假设我们有一个数列\(1，2，3，4\)，
\((1,2)\)表示：将此集合中的元素第一位和第二位进行交换。
\((3,4)\)表示：将此集合中的元素第三位，第四位进行交换。
\((1,2,3)\)表示：将此集合中的元素第一位，第二位和第三位进行交换。

PS：顺位交换

举例：
\(1,2,3,4\) :\((1,2)\Rightarrow 2,1,3,4\)
\(2,1,3,4\) :\((3,4)\Rightarrow 2,1,4,3\)
\(2,1,4,3\) :\((1,2,3)\Rightarrow 4,2,1,3\)

而本群中的元素，就是这些置换。

注意：每次置换必须包含所有元素。（完整写法：（1，2）（3）（4）表示上文的（1，2））

特殊地：定义乘法：经过一次置换可以得到两次置换后的排列，则将这个一次置换定义为两个置换的积。

举例：

\(1,2,3,4\) :\((1,2)\Rightarrow 2,1,3,4\)
\(2,1,3,4\) :\((3,4)\Rightarrow 2,1,4,3\)
$ 2,1,4,3$ :\((1,2,3)\Rightarrow 4,2,1,3\)
\(1,2,3,4\) :\((1,3,4)\Rightarrow 4,2,1,3\)
\((1,2)(3,4)*(1,2,3)(4)=(1,3,4)(2)\)

本群中的幺元：
\(e=(1)(2)(3)...(n)\)

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Burnside引理

假设我们用m种颜色对n个元素染色，要求经过旋转其染色方式不重合，求方案数。

Burmside 引理给出答案：

\[\frac{\Sigma_{s\in S}m^{\eta (s)}}{ \vert S \vert } \]

注意：\(\eta(i)\)表示轨道数目（可看作括号数目），s表示一个置换（完整的）本题目对应置换群为S，该置换群下任一置换得相同方案数只算一种。

Burnside定理证明（引自OI—wiki）

（可以选择自行跳过）

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引入

轨道稳定子定理(Orbit-Stabilizer Theorem，可称为轨道 - 稳定集定理)。

定义：

\(G\):各种翻转操作构成的置换群。

\(X\):直接进行置换，本质不同的方案数。（从\(A\)到\(B\)的映射）。

定义：
$ \forall x\in X,G^x = {
\begin{aligned}
g|g(x)=x,g\in G \
\end{aligned}},G(x)={g{(x)}|g\in G}
$ 其中，\(G^x\)称为\(x\)的稳定子，\(G(x)\)称为\(x\)的轨道，则：

\[|G|=|G^x||G(x)| \]

轨道稳定子定理证明 首先，我们可以证明\(G^x\)是\(G\)的子群。参考：

• 封闭律：\(a,b\in S, ab\in S\)
• 结合律：\(a(bc)=(ab)c\)
• 幺元：$\exist e\in S ,\forall b\in S,eb=be=b $
• 逆元：\(\forall a\in S,\exist b\in S,ab=e\)

则有拉格朗日定理：

\[|G|=|G^x|[G:G(x)] \]

群伦的拉格朗日定理：元素的阶必然能够整除群的阶。（元素的阶就是相应循环子群的阶。）

（证明可以看https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100318620，这个博主写的非常好，这里我就不多加赘述了。）

其中\([G:G^x]\)为\(G^x\)的不同的左陪集个数。接下来：

我们令\(\varphi(g(x))=gG^x\)接下来，我们只要可以证明\(\varphi\)是双射就可以了：

• 若\(g(x)=f(x)\)，那么\(f^{-1}{○}g(x)=I(x)=x\)，所以\(f^{-1}{○}g\in G^x\)，由陪集的性质可以得到：\((f^-1{○}g)G^x=G^x\),即\(gG^x=fG^x\)

• 反面：若\(gG^x=fG^x\)，则有\(g(x)=f(x)\)

• 综合：对于一个\(g(x)\)，他有且仅有一个左陪集与他对应（这就是双射关系——一一对应），即\(\varphi\)是一个从\(G(x)\)到左陪集的映射

• 由以上的证明（1、2）可以知道：\(\varphi\)必定有一个逆映射，因此其为双射

  （证毕）

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Burnside 引理的证明

\[\begin{align} \sum_{g\in G}|X^g| &= |\{(g,x)|(g,x)\in G\times X,g(x)=x\}|\\ & =\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}\\ &=|G|\sum_{x\in X}\frac{1}{G(x)}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y} \frac{1}{|G(x)|}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y} \frac{1}{|Y|}\\ &=|G|\sum_{Y\in X/G} 1\\ &=|G||X/G| \end{align} \]

所以有：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

（看不懂没关系，会用就可以了，OIer要学习这个证明大概率（几乎就是，因为确实太多数学知识比较坑......）得到大学）

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轨道的定义：对于一个置换，如果它构成循环，则称为一个轨道。

Burnside的难点：

1.构建置换群
2.轨道技术

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立体图形旋转置换（应用）

给你一个正方体，用m种颜色给6个面染色。（众所周知，正方形有6个面，12条棱，8个点......）

考虑：由于我们要求经过旋转其方案数要求不同，我们可以考虑这个正方体可以旋转的方式：

（可以自己拿个魔方或者画个正方体转一转感受一下）

• 不转（0°旋转）
• 绕着面与面的中轴转（90°，180°，270°）
• 绕着棱与棱的中点连线（180°）
• 相对应的点与点旋转（120°，240°）

立体旋转	角度	数目	轨道	方案
不转	0°	1	\((1)^6\)	\(m^6\)
面面	90°	3	\((1)^2(4)^1\)	\(m^3\)
	180°	3	\((1)^2(2)^2\)	\(m^4\)
	270°	3	\((1)^2(4)^1\)	\(m^3\)
棱棱	180°	6	\((2)^3\)	\(m^3\)
点点	120°	4	\((3)^2\)	\(m^2\)
	240°	4	\((3)^2\)	\(m^2\)

考虑数目如何给出的：

• 不转只有一种方式，很好解释
• 面面转我们可以发现：每一个面周围都有4个面（正方体），那么我们那就有4次旋转方式。
• 棱棱考虑：每条棱只相邻2个面，于是只有2种旋转方式。
• 点和点：看一个点，周围有3个面，所以很显然：3种方式。
• 注意，我们旋转要保证转完之后立体图形在空间种的形态和之前一样.（不然每个转法都是无穷多（无限小的度数......相信你们都懂））

注：ans=(不转方案 $ * $ 1+面面方案求和 $ * $ 3+棱棱 $ * $ 6+点点 $ * $ 4)/24（24： | S | ）

到此，置换群 的简单介绍就结束了，如果想学得更多，那可以等到大学去学。<_<

（Upd_end 2021.3.13 home）