网络流基本概念
首先最重要的，当然是了解一些信息： 网络（或者流网络，Flow Network）与 网络流（Flow）的概念。
网络
首先引用wiki定义
在图论中，网络流（英语：Network flow）是指在一个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使一条边的流量不会超过它的容量。通常在运筹学中，有向图称为网络。
简单来说，网络是个有向图 G=(V,E)，这张图上每条边\((u,v)\in E\),都有各自的一个属性：容量（Capacity），也就是权值，这个属性代表的不是走过这条边带来的贡献，或者说价值，而是最大只能通过多少。
特殊的，当\((u,v)\notin E,c_{u,v}=0\)
同时，在一个网络中有两个特殊的点，源点（Source）s 和汇点（Sink）t。\(s,t\in V,(s\not=v)\)
流
流（flow）\(f_{u,v,}\)是定义在二元组\((u,v\in V)\)上的实数函数，表示\((u,v)\)这条边的流量，可以理解为这条边对整体的实际贡献，\(c_{u,v}-f_{u,v}\)表示剩余容量，整体网络的流量定义为：从源点S出发的流量总和（大小等于T的接受流量之和）。
\[∑
(S,v)∈E
f(S,v)
\]
而且流同时满足以下性质：
- 1.量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即\(f_{u,v}\le c_{u,v}\)
- 2.对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即
- 3.流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即\(∀x\in V-\{s,t\},\Sigma _{(u,x)}f(u,v)=\Sigma _{x,v}\in f(u,x)=\Sigma _{(x,v)\in E} f(x,v)\)
那么此时我们就可以得到函数完整定义：
\[f(u,v) =
\begin{cases}
f(u,v), & (u,v)\in E \\
0, & (u,v)\notin E,(v,u)\notin E \\
-f(u,v), &(v,u)\in E
\end{cases}
\]
网络流的几类问题
常见问题有三种：最大流，最小割，费用流，上下界网络流。
最大流
我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。
费用流（最小费用最大流）
最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。
最小割
割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉x条边来让s跟t不互通。我们要求x1条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。
