康托展开

康托展开

标签（空格分隔）： C++ 数论数学

---

提示

建议先明白排列：\(A_n^r\):计算方式: n!/(n-r)!
特殊地，我们将r=n的排列称为全排列

废话

假设学校进行期末考试，然而管理层的某人比较闲，为了不让同学们知道自己的实际排名，他给同学们的号码牌是由1_{n排列而成的，例如：每个人的号码为5位，数字为1}5。而我们的同学也很闲，他们很想知道自己到底多少名，于是......草稿纸和笔开始工作了，然而这时，试想你突然站出来，用10秒算出所有人的排名，那你是不是......嘿嘿嘿

言归正传：
处理这种排列序号的问题，数学上由康托展开来完美KO。

康托展开

假设n为5，你的序号为42135，此时我们如何计算名次？（序列号）

考虑：从最高位到最低位进行分析：

1. 第一位为4，那么在1，2，3，5中，比4小的有3个，那以1，2，3开头的序列就有：3*\(A_4^4\)种，此时比42135小的就有了72种。
2. 第二位为2，那么在余下的1，3，5中，比2小的有1，那么此时比42135小的又多了1*\(A_3^3\),有6种。
3. 第三位为1，余下的3，5中没有比它小的，那么贡献为：0*\(A_2^2\)。
4. 第四位为3，余下的5中没有比它小的，贡献：0*\(A_1^1\)。
5. 第五位为5，固定下来了。贡献：0*\(A_0^0\)。
6. 结束，答案为72+6+1。

注意，78只是比你小的，你的位置是78+1。
另外：12345的序号为0（每一位贡献均为0），但是它在实际中为1。

逆康托展开

对于一个由1~n构成的序列，给出它的序列号，求出它的序列。

这里直接开栗子：
如果初始序列是12345（第一个），让你求第79个序列是什么。（按字典序递增）
这样计算：
先把79减1，因为康托展开里的初始序列编号为0
然后计算下后缀积：
1 2 3 4 5
5！ 4！ 3！ 2！1！ 0！
120 24 6 2 1 1
78 / 4! = 3 ······ 6 有4个比它小的所以因该是4 从（1，2，3，4，5）里选
6 / 3! = 1 ······ 0 有1个比它小的所以因该是2 从（1， 2， 3， 5）里选
0 / 2! = 0 ······ 0 有2个比它小的所以因该是1 从（1， 3， 5）里选
0 / 1! = 0 ······ 0 有0个比它小的所以因该是3 从（3，5）里选
0 / 0! = 0 ······ 0 有0个比它小的所以因该是5 从（5）里选
所以编号79的是 42135

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int fac[25]={1};

int n,k,x;
int val[25];
bool vis[25];

void reverse_contor(int x){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	x--;
	int j;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t=x/fac[n-i];
		for(j=1;j<=n;j++){
			if(!vis[j]){
				if(!t) break;
				t--;
			}
		}
		printf("%d ",j);
		vis[j]=1;
		x%=fac[n-i];
	}
	puts("");
}

int contor(int x[]){
	int p=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t=0;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(x[i]>x[j]) t++;
		}
		p+=t*fac[n-i];
	}
	return p+1;
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	while(k--){
		char ch;
		cin>>ch;
		if(ch=='P') scanf("%lld",&x),reverse_contor(x);
		else{
			for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&val[i]);
			printf("%lld\n",contor(val));
		}
	}
	return 0;
}