研究欧拉函数有感
欧拉函数 (\(\varphi\))，读法为 fai（四声）。
定义
\(\varphi(n)\) 表示有多少个不大于 \(n\) 的正整数与 \(n\) 互质。 特别的 \(\varphi(1)=1\)。
性质：
- 积性函数，及如果有 \(a\bot b\)， 就有 \(\varphi(a\times b)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)。
证明：
如果有 \(a\bot b\)，那么 \(a\) 和 \(b\) 就没有大于 \(1\) 的公因数，于是就有这个积性函数的性质。
也可以看下面的性质三推式子：
令 \(a=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots p_m^{k_m}\), \(b=q_1^{w_1}\times q_2^{w_2}\times \cdots q_m^{w_u}\)
\(\because a\bot b\ \therefore\) 没有任何一个 \(p\) 和任何一个 \(q\) 相同。
\(\varphi(a\times b)=\prod_{i=1}^{i\leq m} \frac{p_i-1}{p_i}\times \prod_{i=1}^{i\leq u} \frac{q_i-1}{q_i}=\varphi(a)\times \varphi(b)\)。 - \(\forall n \in \mathbb{P}\),\(\varphi(n^k)=n^k-n^{k-1}=n^{k}\times(1-p^{-1})=n^k\times (1-\frac{1}{p})\)
证明：
可以知道 \([1, n^k]\) 里面一共有 \(n^k\) 个数。其中因为 \(n\in \mathbb{P}\)，所以满足 \(x|n\) 的数是 \(n^k\) 的因数，这些数为 \(n, n^2, n^3\cdots n^{k-1}\times n\)，显然一共有 \(n^{k-1}\) 个数，减去这 \(n^{k-1}\) 个数就可以得到 \(\varphi(n^k)\)。 - 令 \(n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times \cdots p_r^{k_r}\)，则有 \(\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}\)。
证明：
- 容斥原理：
假设有 \(n\) 有两个质因数 \(a,b\)，那么对于 \(x\in [1, n]\)，有 \(\frac{n}{a}\) 个数是 \(a\) 的因数， 有 \(\frac{n}{b}\) 个数是 \(b\) 的因数，有 \(\frac{n}{a\times b}\) 个数是 \(a\times b\) 的因数。显然只考虑 \(a, b\) 的因数就有 \(n-\frac{n}{a}-\frac{n}{b}+\frac{n}{a\times b}\) 个数与 \(n\) 互质。其中因为 \(a\times b\) 的因数被算了两次，所以这里我们将其减去。对于多个质因数我们也可以这样算。同时，上面的式子还可以用十字相乘化简 \(n\times(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{a\times b})=n\times(1-\frac{1}{a})\times(1-\frac{1}{b})\)。可得上面的公式。 - 利用性质 2：
通过性质 1 可以知道 \(\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\times\varphi(p_2^{k_2})\cdots \times\varphi(p_r^{k_r})=(p_1^{k_1}\times (1-\frac{1}{p_1}))\times(p_2^{k_2}\times (1-\frac{1}{p_2}))\cdots \times(p_r^{k_r}\times (1-\frac{1}{p_r}))=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_r^{k_r}\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times \cdots \times(1-\frac{1}{p_r})=n\times\prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}\)。
- 所有不大于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的数的和为 \(\frac{n\times\varphi(n)}{2}\)
证明：
由 \(\gcd(n, x)=\gcd(n, n - x)\) 可知，当一个数 \(x\) 满足 \(\gcd(n,x)=1\) 时，就会有一个数 \(n-x\) 满足 \(\gcd(n,n-x)=1\)，及这些数是成对出现的，他们的平均数是 \((n-x+x)\div 2\) 即 \(\frac{n}{2}\)，因为一共有 \(\varphi(n)\) 个数与 \(n\) 互质，所以他们的和就是 \(\frac{n\times\varphi(n)}{2}\) 。 - 欧拉反演：\(\sum_{x|n}\varphi(x)=n\)。
证明
设 \(f(n)=\sum_{x|n}\varphi(x)\)，则有 \(f\) 是一个积性函数。
\(\forall\ n\bot m,f(n\times m)=\sum_{x|n\times m}\varphi(x)=\sum_{x|n}\varphi(x)\times \sum_{x|m}\varphi(x)=f(n)\times f(m)\)。
于是 \(f(n)=\prod_{i=1}^{i\leq r} f(p_i^{k_i})\)
先研究 \(l\in \mathbb{P}, f(l^k)\)， 发现其中满足是 \(l\) 的因数的数有 \(1,l, l^2, l^3\cdots l^k\) 及 \(f(l^k)=\varphi(1) + \varphi(l)+ \varphi(l^2)+ \varphi(l^3)\cdots + \varphi(l^k)\)，有性质 2 可知 \(f(l^k)=1+l-l^0+l^2-l^1+\cdots +l^k-l^{k-1}\) 可以发现其中的项相互抵消了，最后只剩下了 \(l^k\)，即 \(\forall x\in \mathbb{P},\ f(x^k)=x^k\)。
于是就有 \(f(n)=\prod_{i=1}^{i\leq r} f(p_i^{k_i})=\prod_{i=1}^{i\leq r} p_i^{k_i}=n\)。 即 \(\sum_{x|n}\varphi(x)=n\)。 - 如果有 \(p\) 为质数， \(p\mid n\) 并且有 \(p^2 \mid n\) 于是就有 \(\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})\times p\)。
证明
可以把 \(n\) 看作 \(x\times p^2\)，于是 \(\frac{n}{p}=x\times p\)，可以发现除了指数不一样，其他的因数都是一样的，而欧拉函数计算的表达式中只和因数 有关，而不是和指数有关，于是这里就可以得到两个式子，\(\varphi(p)=p\times \prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}, \varphi(\frac{n}{p})=\frac{n}{p} \times \prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}\)，于是就有 \(\frac{\varphi(p)}{\varphi(\frac{n}{p})}=p\)，化简一下就和上面的式子一样了。 - 如果有 \(p\) 为质数， \(p\mid n\)，但是有 \(p^2 \nmid n\)，有 \(\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})\times(p - 1)\)。
证明
因为有 \(p^2 \nmid n\)，于是就有 \(p \nmid \frac{n}{p}\)，于是 \(p \bot \frac{n}{p}\)，由于 \(\varphi\) 是积性函数，于是就有 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\times \varphi(p)\)，又因为 \(p\) 是质数，于是 \(\varphi(p)=p-1\)，于是既有上面的结论乐。
怎么求
首先就有一种简单的方式求单个的，对于一个数，我们将其分解质因数，带进公式里面，然后就发现做完了。
还有一种更加合理的方法可以在 \(\mathbb{O(n)}\) 的复杂度里面解决 \([1, n]\) 的欧拉函数，具体思想就是线性筛。
我们知道，线性筛可以得到一个数的最小质因数，然后我们就可以通过性质 6 和性质 7 对其进行递推求解，具体代码见下：
phi[1] = 1;
rep (i, 2, n) {
if (!pri[i]) {
pri[++pri[0]] = i;
phi[i] = i - 1;
}
rep (j, 1, pri[0]) {
pri[i * pri[j]] = 1;
if (i % pri[j] == 0) {
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
break;
}
phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
if (pri[j] * i > n) break;
}
}
