研究欧拉函数有感

欧拉函数 ($\varphi$)，读法为 fai（四声）。

定义

$\varphi(n)$ 表示有多少个不大于 $n$ 的正整数与 $n$ 互质。 特别的 $\varphi(1)=1$。

性质：

1. 积性函数，及如果有 $a\bot b$， 就有 $\varphi(a\times b)=\varphi(a)\times\varphi(b)$。
   证明：
   如果有 $a\bot b$，那么 $a$ 和 $b$ 就没有大于 $1$ 的公因数，于是就有这个积性函数的性质。
   也可以看下面的性质三推式子：
   令 $a=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots p_m^{k_m}$, $b=q_1^{w_1}\times q_2^{w_2}\times \cdots q_m^{w_u}$
   $\because a\bot b\ \therefore$ 没有任何一个 $p$ 和任何一个 $q$ 相同。
   $\varphi(a\times b)=\prod_{i=1}^{i\leq m} \frac{p_i-1}{p_i}\times \prod_{i=1}^{i\leq u} \frac{q_i-1}{q_i}=\varphi(a)\times \varphi(b)$。
2. $\forall n \in \mathbb{P}$,$\varphi(n^k)=n^k-n^{k-1}=n^{k}\times(1-p^{-1})=n^k\times (1-\frac{1}{p})$
   证明：
   可以知道 $[1, n^k]$ 里面一共有 $n^k$ 个数。其中因为 $n\in \mathbb{P}$，所以满足 $x|n$ 的数是 $n^k$ 的因数，这些数为 $n, n^2, n^3\cdots n^{k-1}\times n$，显然一共有 $n^{k-1}$ 个数，减去这 $n^{k-1}$ 个数就可以得到 $\varphi(n^k)$。
3. 令 $n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times \cdots p_r^{k_r}$，则有 $\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}$。
   证明：

• 容斥原理：
  假设有 $n$ 有两个质因数 $a,b$，那么对于 $x\in [1, n]$，有 $\frac{n}{a}$ 个数是 $a$ 的因数， 有 $\frac{n}{b}$ 个数是 $b$ 的因数，有 $\frac{n}{a\times b}$ 个数是 $a\times b$ 的因数。显然只考虑 $a, b$ 的因数就有 $n-\frac{n}{a}-\frac{n}{b}+\frac{n}{a\times b}$ 个数与 $n$ 互质。其中因为 $a\times b$ 的因数被算了两次，所以这里我们将其减去。对于多个质因数我们也可以这样算。同时，上面的式子还可以用十字相乘化简 $n\times(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{a\times b})=n\times(1-\frac{1}{a})\times(1-\frac{1}{b})$。可得上面的公式。
• 利用性质 2：
  通过性质 1 可以知道 $\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\times\varphi(p_2^{k_2})\cdots \times\varphi(p_r^{k_r})=(p_1^{k_1}\times (1-\frac{1}{p_1}))\times(p_2^{k_2}\times (1-\frac{1}{p_2}))\cdots \times(p_r^{k_r}\times (1-\frac{1}{p_r}))=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_r^{k_r}\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times \cdots \times(1-\frac{1}{p_r})=n\times\prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}$。

4. 所有不大于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的和为 $\frac{n\times\varphi(n)}{2}$
   证明：
   由 $\gcd(n, x)=\gcd(n, n - x)$ 可知，当一个数 $x$ 满足 $\gcd(n,x)=1$ 时，就会有一个数 $n-x$ 满足 $\gcd(n,n-x)=1$，及这些数是成对出现的，他们的平均数是 $(n-x+x)\div 2$ 即 $\frac{n}{2}$，因为一共有 $\varphi(n)$ 个数与 $n$ 互质，所以他们的和就是 $\frac{n\times\varphi(n)}{2}$ 。
5. 欧拉反演：$\sum_{x|n}\varphi(x)=n$。
   证明
   设 $f(n)=\sum_{x|n}\varphi(x)$，则有 $f$ 是一个积性函数。
   $\forall\ n\bot m,f(n\times m)=\sum_{x|n\times m}\varphi(x)=\sum_{x|n}\varphi(x)\times \sum_{x|m}\varphi(x)=f(n)\times f(m)$。
   于是 $f(n)=\prod_{i=1}^{i\leq r} f(p_i^{k_i})$
   先研究 $l\in \mathbb{P}, f(l^k)$， 发现其中满足是 $l$ 的因数的数有 $1,l, l^2, l^3\cdots l^k$ 及 $f(l^k)=\varphi(1) + \varphi(l)+ \varphi(l^2)+ \varphi(l^3)\cdots + \varphi(l^k)$，有性质 2 可知 $f(l^k)=1+l-l^0+l^2-l^1+\cdots +l^k-l^{k-1}$ 可以发现其中的项相互抵消了，最后只剩下了 $l^k$，即 $\forall x\in \mathbb{P},\ f(x^k)=x^k$。
   于是就有 $f(n)=\prod_{i=1}^{i\leq r} f(p_i^{k_i})=\prod_{i=1}^{i\leq r} p_i^{k_i}=n$。 即 $\sum_{x|n}\varphi(x)=n$。
6. 如果有 $p$ 为质数， $p\mid n$ 并且有 $p^2 \mid n$ 于是就有 $\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})\times p$。
   证明
   可以把 $n$ 看作 $x\times p^2$，于是 $\frac{n}{p}=x\times p$，可以发现除了指数不一样，其他的因数都是一样的，而欧拉函数计算的表达式中只和因数 有关，而不是和指数有关，于是这里就可以得到两个式子，$\varphi(p)=p\times \prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}, \varphi(\frac{n}{p})=\frac{n}{p} \times \prod_{i=1}^{i\leq r} \frac{p_i-1}{p_i}$，于是就有 $\frac{\varphi(p)}{\varphi(\frac{n}{p})}=p$，化简一下就和上面的式子一样了。
7. 如果有 $p$ 为质数， $p\mid n$，但是有 $p^2 \nmid n$，有 $\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})\times(p - 1)$。
   证明
   因为有 $p^2 \nmid n$，于是就有 $p \nmid \frac{n}{p}$，于是 $p \bot \frac{n}{p}$，由于 $\varphi$ 是积性函数，于是就有 $\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\times \varphi(p)$，又因为 $p$ 是质数，于是 $\varphi(p)=p-1$，于是既有上面的结论乐。

怎么求

首先就有一种简单的方式求单个的，对于一个数，我们将其分解质因数，带进公式里面，然后就发现做完了。

还有一种更加合理的方法可以在 $\mathbb{O(n)}$ 的复杂度里面解决 $[1, n]$ 的欧拉函数，具体思想就是线性筛。

我们知道，线性筛可以得到一个数的最小质因数，然后我们就可以通过性质 6 和性质 7 对其进行递推求解，具体代码见下：

phi[1] = 1;
rep (i, 2, n) {
	if (!pri[i]) {
		pri[++pri[0]] = i;
		phi[i] = i - 1;
	}
	rep (j, 1, pri[0]) {
		pri[i * pri[j]] = 1;
		if (i % pri[j] == 0) {
			phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
			break;
		}
		phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
		if (pri[j] * i > n) break;
	}
}