数据结构——并查集

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No.1 引入#

因学了有关并查集的知识，为加强记忆，且有感而发。

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No.2 概念#

简易

并查集，是一种数据结构，可以用来处理集合的合并与查询问题。

完整

并查集(Disjoint-Set或Union-Find Set)是一种表示不相交集合的数据结构，用于处理不相交集合的合并与查询问题。在不相交集合中，每个集合通过代表来区分，代表是集合中的某个成员，能够起到唯一标识该集合的作用。一般来说，选择哪一个元素作为代表是无关紧要的，关键是在进行查找操作时，得到的答案是一致的(通常把并查集数据结构构造成树形结构，根节点即为代表)。

 

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No.3 操作#

操作主要为三类。

1）建并查集。

并查集由于是树形结构，所以保存的方式是使用数组来存储。

建立时，由于每一个单位所处并查集都为它本身，所以它的就是它本身。

void MakeSet(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
}

 2) 查找元素所处树根。

建并查集时，已初始化

如果此结点的是它本身，也就是它没有前继，那此结点即是树根。

因是查找结点，所以有返回值，为

    ​如图，如要查询结点1所在并查集的根往上爬，及结点2。因结点2的就是它本身，就找到了并查集的根。

int FindSet(int a){
	if(fa[a]==a){
		return a;
	}
	else{
		return FindSet(fa[a]);
	}
}

3) 合并两集合。

已知两集合中任意结点，要合并两结点所处集合，那就是说要把一个集合接在另一集合下。

因要接整个集合，那就得找到集合的代表，即是树根。把一树根接在另一树根下，就可完成集合合并。

还需注意，如两结点已处于同一并查集中，那就不用合并了，直接跳过。

void UnionSet(int a,int b){
	int l=FindSet(a),r=FindSet(b);
	if(l==r){
		return;
	}
	fa[l]=r;
}

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No.4 优化#

1）路径压缩

如果不对并查集进行优化，那么它就是一棵普通的树，查询所用时间复杂度很高。

如右图，如果我们不进行任何优化，从节点2到节点4就要递归3次​

于是，就有了路径压缩。

对于每次查询，我们都可以让这个节点直接连在根节点上。下一次查询，就可以直接查询到根节点。大大缩减了时间复杂度。

int FindSet(int a){
	if(fa[a]==a){
		return a;
	}
	else{
		return fa[a]=FindSet(fa[a]);
	}
}

2）按秩合并（启发式合并）

有两个并查集需合并，如果把深度深的接在深度浅的并查集后，那会大大加深并查集的深度。

如图，把节点7的并查集接在8后，会增加并查集的深度，但是，把节点8的并查集接在7后，就不会有此顾虑。

​​​

 所以，它启发了我们，应该把深度低的树往深度高的树上合并，就不会担心此问题。

可以用数组来存并查集深度，在合并时比较就可以了。

void UnionSet(int a,int b){
	int l=FindSet(a),r=FindSet(b);
	if(l==r){
		return;
	}
	else if(de[l]<=de[r]){
		fa[l]=r;
	}
	else{
		fa[r]=l;
	}
	if(de[l]==de[r]){
		de[r]++;
	}
}

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No.5 特殊类并查集#

1）带权并查集(边带权并查集)

有时，题目会要求我们求链并查集的节点间隔，如此。但是代码又用了路径压缩，破坏了并查集原有的形态，这是，就要引出带权并查集。

顾名思义，此并查集中每一条边都带有值，我们称权值。

在每次查找路径压缩中，我们都借此更新权值，这样就不用担心此问题。

如左图，现在每边的权值都为1，但压缩到右图时，每边权值就分别成了1,2,3。

当我们求如3,2节点中间节点数时，就可直接了。

​                                ​                         ​

 

2）种类并查集(扩展域并查集)

有时候并查集要维护一种特殊关系：敌人的敌人是朋友。

这时，再用一般的并查集就不合适了。所以我们引入了种类并查集。

在建并查集时，我们可以多建1倍或2倍并查集，来分别保存如题朋友关系和敌人关系。在查找关系时，忽略多建的点，这样就得到了我们想要的关系。

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 No.6 典型例题#

1）格子游戏

题目描述

Alice和Bob玩了一个古老的游戏：首先画一个n × n的点阵（下图n = 3）

接着，他们两个轮流在相邻的点之间画上红边和蓝边：

直到围成一个封闭的圈（面积不必为1）为止，“封圈”的那个人就是赢家。因为棋盘实在是太大了(n ≤ 200)，他们的游戏实在是太长了！他们甚至在游戏中都不知道谁赢得了游戏。于是请你写一个程序，帮助他们计算他们是否结束了游戏？

输入格式

输入数据第一行为两个整数n和m。m表示一共画了m条线。以后m行，每行首先有两个数字(x, y)，代表了画线的起点坐标，接着用空格隔开一个字符，假如字符是"D "，则是向下连一条边，如果是"R "就是向右连一条边。输入数据不会有重复的边且保证正确。

输出格式

输出一行：在第几步的时候结束。假如m步之后也没有结束，则输出一行“draw”。

样例

样例输入

3 5
1 1 D
1 1 R
1 2 D
2 1 R
2 2 D

样例输出

4

思路点拨：#

由圈想到并查集，可把坐标放进并查集。

先判断两点是否在一个并查集中，如是，即已创建出一个圈，如否，把连成线的两点坐标放入并查集，继续下一步操作。

核心代码：#

if(k=='D'){//向下画一笔
	z=x+1;
	int a=x*n+y;
	int b=z*n+y;//确定两点坐标
	if(FindSet(a)==FindSet(b)){//判断两点是否处于同一并查集。
		printf("%d",i);
		return 0;
	}
	else{
		UnionSet(a,b);//否，则将两点搞入并查集
	}
}
else{//向右画一笔
	z=y+1;
	int a=x*n+y;
	int b=x*n+z;
	if(FindSet(a)==FindSet(b)){//判断两点是否处于同一并查集。
		printf("%d",i);
		return 0;
	}
	else{
		UnionSet(a,b);//同上
	}
}

 2）老旧的桥

 

题目描述

现在有个岛屿和座桥。

第座桥双向连接着第和第个岛屿。

刚开始的时候，我们可以用其中的一些桥在任何两个岛之间旅行。

然而，经调查显示，这些桥都将会因老旧而倒塌，而且倒塌的顺序为从第1座桥到第M座桥。

由于剩下的桥不能够使第个岛和第个岛互相到达，这会使岛屿对变得很不方便。

对于每一个，找出在第i座桥倒塌之后，这样不方便的岛屿对有多少？

输入格式

第一行有两个正整数和，分别表示岛屿的数量和桥的数量。

接下来有行，每一行有两个整数和，分别表示第i座桥连接的两个岛屿的编号。

输出格式

输出有行，每一行输出一个整数，表示第座桥倒塌之后不方便到达的岛屿对的数量，结果可能会超出位的大小。

样例

样例输入

4 5
1 2
3 4
1 3
2 3
1 4

 

样例输出

0
0
4
5
6

思路点拨：#

倒着枚举每座桥，方便并查集建集和计算。

乘法原理，如两集合不通，则每集合中选1点都不能沟通。所以相乘。

核心代码：#

void UnionSet(int x,int y,int z){
	int p=FindSet(x),q=FindSet(y);
	if(p==q){//如根相等，即它们在一集合，就继承上一ans
		ans[z]=ans[z+1];
		return;
	}
	else{
		fa[q]=p;
		ans[z]=ans[z+1]-si[q]*si[p];//乘法原理
		si[p]+=si[q];
	}
}

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 No.7 感想#

前两天编辑状态不好，但有所回升。

写博客既是总结知识，又是对自己的提醒和督促。

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