数论初步

《算法竞赛入门经典》 10.1 数论初步学习总结

这部分内容在信息安全数学基础这门课里都有涉及，不过我没听课就是了，顺便补充代码部分。

 

一、欧几里得算法和唯一分解定理

Euclid Algorithm 用来求两整数的最大公因数，一言概之： 被除数与除数的最大公约数为除数与余数的最大公约数，当除数为零时，该公约数为被除数。（0是任何数的0倍） 又称辗转相除法。

int gcd ( int a , int b ) {
      return b==0 ? a : gcd ( b , a % b ) ;  
}    

又因唯一分解定理，任何数可写成多个素数的乘积。

a = p1^e1p2^e2p3^e3...pr^er;      b = p1^f1p2^f2p3^f3...pr^fr
gcd(a,b) 为 p1 到 p2 乘积， 指数为er fr 中小的； lcm(a,b) 的指数为 大的。因此两者乘积对应素数的指数固定为er+fr，即gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b。

 

二、 Eratosthenes 筛法

求1到n之间的所有素数， 筛法顾名思义， 在n个数中删除非素数即可。对于不超过n的每个非负整数p， 依次删除2p，3p， 4p， ...... 余下的即为所有素数。

// vis[i] 表示i已经被删除
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i=2, i<=n; i++)
    for(int j=i*2; j<=n; j+=i)
        vis[j] = 1;

 

p可限定为素数，当p取4时，要删除的数与2重复。且不能取1。 此时在二重循环前添加判断  if(!vis[i]) 即可。

且删除时不必从2p开始，因为当p为2时已经删除，应从p*p开始删除 ； --> int j = i * i  。

 

三、 扩展欧几里得算法 

找出一对整数(x,y) ， 使得 ax + by = gcd(a,b) 。

void gcd( int a, int b, int& d, int& x, int& y){
    if(!b）{ d = a; x = 1; y = 0;}
    else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x * (a/b);}; 
}

 

若方程 ax + by = c 的一组整数解为 (x0, y0), 则通解为(x0+kb',y0-ka'), a' = a / gcd(a,b), b' = b / gcd(a,b), k 取任意整数。

若g = gcd(a,b) , ax + by = g 的一组解为(x0,y0), 则当c为g的整数倍时， ax+by=c的一组解为(x0c/g,y0c/g) , 当c不是g 的倍数时 该式无解。