开篇废话

今天的废话是，还没想好，想好了再补上

矩阵加法、减法

矩阵加减法，规则很简单，矩阵要求尺寸一样，row一样，column也得一样，这样按照对位相加减就行了。
$\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\ a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\ a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&b_{13}\\ b_{21}&&b_{22}&&b_{23}\\ b_{31}&&b_{32}&&b_{33}\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}a_{11}\pm a_{11}&&a_{12}\pm b_{12}&&a_{13}\pm b_{13}\\ a_{21}\pm b_{21}&&a_{22}\pm b_{22}&&a_{23}\pm b_{23}\\ a_{31}\pm b_{31}&&a_{32}\pm b_{32}&&a_{33}\pm b_{33}\end{bmatrix}$
这个没啥好说的，别减错地方就行。一对一进行

乘法

乘法才是矩阵计算的关键，计算意义，计算量，等很多是些非常有意义的研究课题，我记得本科学习线性代数的时候，老师先来将行列式，接着就是矩阵的计算法则，然后接着就是rank类的东西了，确实书本是这么讲的，但是现在想想，好像没啥逻辑，所以就没去上课了（给自己随便找个借口逃课）。

矩阵规模

相乘的两个矩阵尺寸上有些要求，例如对于： $AB$
If A has n column,B must have n rows
如果A为 $m\times n$ ，B为 $n\times p$ 那么他们相乘的结果：
$(m\times n)(n \times p)=(m\times p)$

Row Dot Product Column

Dot product之前已经讲过了，就是如何通过两个向量，pia的一下变成一个数字，矩阵可以看做是向量组成的，所以给出第一个规则，假设乘法为 $AB=C$
$C_{ij}=(row\;i\;of\;A) \cdot (column\;j\;of\;B)$
这个规则是我之前上课学的，也是最基本的矩阵乘法公式，当然也可以写成求和的形式，但是我觉得通过dot product来看这个反而更直观一些，就不再把求和那个写出来了，补充句，在矩阵相乘的编程处理中，经过调整内外层循环，可以最大化利用高速缓冲，能够提高乘法速度。这个让我想起来之前项目，同事非要自己写乘法，然后就按照公式计算顺序，写了一个一毛一样的东西出来，虽然只做3x3的一个小矩阵乘法，速度什么的基本没什么影响，但是我觉得这当你不能保证你写的功能的稳定性和速度的时候，使用稳定的第三方库是个不错的选择。

Inner or Outer

dot product也叫inner product，当时我就在想有没有outer product，Pro. Strang在课堂上没有介绍outer但是在书上写了下，inner的矩阵形式是这样的：
$\begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\\b_2\newline \vdots \\b_n\end{bmatrix}=\sum_{i=0}^{n}a_i*b_i$
outer的矩阵形式，就是。。
$\begin{bmatrix}a_1\\a_2\newline \vdots \\a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1&b_2&\dots&b_m\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_1b_1&&a_1b_2&&\dots &&a_1b_m\\ a_2b_1&&a_2b_2&&\dots &&a_2b_m\\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\\ a_nb_1&&a_nb_2&&\dots &&a_nb_m\\ \end{bmatrix}$
其实outer的过程通过一行一列产生一个矩阵，所以当多列和多行（行和列必须相等数量）的矩阵相乘的时候就会产生多个矩阵，再对矩阵进行相加，这个过程的编程实现时，缓存利用率很高，就是本段开头说道的矩阵相乘的速度问题，当然这是不是最快的解决办法我也不知道，知识从哪本书上看到了这种说法，印象比较深刻

Column Model

列模型，如果把矩阵看做是很多列的组合，那么可以回归到最早的 $Ax=b$ 的过程
$A$ 是被乘矩阵, $\textbf{x}$ 扩展成多列的矩阵 $X$
$X=\begin{bmatrix} \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\\ x_1&&x_2&&\dots&&x_n\\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\\ \end{bmatrix}$
把x代入
$$
AX=
A
\begin{bmatrix}
\vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\
x_1&&x_2&&\dots&&x_n\
\vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\
\end{bmatrix}\

\begin{bmatrix}
\vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\
A x_1&&A x_2&&\dots&&A x_n\
\vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\
\end{bmatrix}
$$
写数学类的博客就是累，还是贴代码那种技术博客好写。
把X分解成多个列，每列与A的乘积作为结果对应的列，这就是列视角，或者叫做列模型

Row Model

有行就有列，有列就有行：
$$
A=\begin{bmatrix}
\dots&& a_1 &&\dots\
\dots&& a_2 &&\dots\
\vdots&&\vdots&&\vdots\
\dots&& a_m &&\dots\
\end{bmatrix}\
AX=
\begin{bmatrix}
\dots&& a_1 &&\dots\
\dots&& a_2 &&\dots\
\vdots&&\vdots&&\vdots\
\dots&& a_m &&\dots\
\end{bmatrix}X

\begin{bmatrix}
\dots&& a_1X &&\dots\
\dots&& a_2X &&\dots\
\vdots&&\vdots&&\vdots\
\dots&& a_mX &&\dots\
\end{bmatrix}
$$
行过程和列过程基本呈现一种对称关系，这也是线性代数有趣的一点，经常是左右开工，得到相同的结果。

Block

没错，矩阵是可以切块的，最极端的方式就是每个矩阵按照一个块一个元素的切法，那就和原始矩阵一样了，这种切块粒度太小，如果把一个矩阵当做一块，那粒度又太大，举个一般的例子🌰
继续使用上一节消元的矩阵
$$
E=\begin{bmatrix}
1&&0&&0\
-3&&1&&0\
0&&0&&1\
\end{bmatrix}\
A=\begin{bmatrix}
1&&x&&x\
3&&x&&x\
4&&x&&x\
\end{bmatrix}\
EA=
\left[\begin{array}{c|cc}
1&0&0\\hline
-3&1&0\
0&0&1\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c|cc}
1&&x&&x\\hline
3&&x&&x\
4&&x&&x\
\end{array}\right]\

\left[\begin{array}{c|cc}
1&&x&&x\\hline
0&&x&&x\
0&&x&&x\
\end{array}\right]
$分块进行$
EA=
\left[\begin{array}{c|c}
I&0\\hline
-CA^{-1}&I\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c|c}
A&B\\hline
C&D\
\end{array}\right]\

\left[\begin{array}{c|c}
IA+0C&IB+0D\\hline
-CA^{-1}A+IC&-CA{-1}B+D\
\end{array}\right]
$$

本文为节选，完整内容地址：https://www.face2ai.com/Math-Linear-Algebra-Chapter-2-4转载请标明出处

posted on 2018-09-21 09:51 TonyShengTan 阅读(450) 评论(0) 编辑收藏举报

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