title: 【线性代数】5-2:置换和余因子(Permutations and Cofactors)
categories:
- Mathematic
- Linear Algebra
keywords: - Determinants
- ‘Pivot Formula’
- ‘Big Formula’
- ‘Cofactors Formula’
- Cofactors
- Permutations
toc: true
date: 2017-11-03 09:50:36
Abstract: 行列式的几种求法,以及相关的衍生问题
Keywords: Determinants,‘Pivot Formula’,‘Big Formula’,‘Cofactors Formula’,Cofactors,Permutations
开篇废话
今天写的是行列式的三种计算方法,瞬间想到了孔乙己的茴香豆的四种写法,一个多少有点文化的人(被老师们解读为迂腐)却被一些没什么文化的人嘲笑挖苦;如果孔乙己是个那个时代的悲剧,那我们自己会不会成为这个时代的悲剧呢?读书无用论,某首富的“北大,清华大不如胆大”论,如果思维继续,结果最后肯定是喜闻乐见
The Pivot Formula
Pivot的方式求行列式的值,Pro. Stang说这是matlab的做法,也就是计算机求行列式一般通过消元后得到Pivot,然后将所有Pivots相乘,得到行列式的值,这里有个主意的地方,我们反复强调,如果不是满rank的话,Pivot必然在某些行或者列里面不存在,那么这个矩阵是奇异矩阵,行列式值为0。
能够支持Pivot的乘积等于行列式的原因是上文关于properties 中Rule5 是消元的主要过程,rule5 告诉我们消元前后行列式的值不变,但是有的时候我们不光要消元还要进行行交换,这个是随机次数的,所以行列式的值等于Pivot乘积的前面正负号不明确,故:
从另一个角度讲,如果把消元过程用矩阵方式表达 LU分解的矩阵形式,通过rule8 ,就能知道
这样的话,U的对角线是由Pivot组成的,这个就是Pivot Formula的另一个切入点,都能证明行列式的pivot formula的正确性。
Pivot过程就是消元的过程,通过消元,得到行列式的值。
通过相乘的过程我们还能得到一个子矩阵的行列式,比如矩阵的左上角的一块小的矩阵 他的行列式等于这个子矩阵覆盖的pivot的值(没有行变换)
The big Formula
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