【线性代数】6-6:相似矩阵(Similar Matrices)

title: 【线性代数】6-6:相似矩阵(Similar Matrices)
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• Mathematic
• Linear Algebra
  keywords:
• Similar Matrices
• Jordan Form
• Eigenvalues
• Eigenvectors
  toc: true
  date: 2017-11-29 09:08:12

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Abstract: 本文主要介绍根据矩阵对角化以及特征值引出的相似矩阵的性质和特点
Keywords: Similar Matrices,Jordan Form,Eigenvalues,Eigenvectors

开篇废话

一篇一度的废话开始了，谎言和真想到底有什么区别？其实没什么区别，如果你相信谎言不去怀疑，那么你就可以生活在谎言所构造的世界中，或者你想探索真理，那么你就要接受一个有一个残酷的现实，就是你一直被欺骗，而且很多东西已经形成的错误的习惯，那么这个可能很难纠正，两个世界都能承载人的一生，红药丸，蓝药丸，你可以自己选择，对于什么监控坏了，官方辟谣，这些话可能是真的，也可能是假的，所以可以信也可以不信，至于信与不信不过是吃完饭后的谈资而已。
特征值特征向量这一章是线性代数的高潮部分，可以说是高潮迭起，这部分相比四个子空间部分可能逻辑性更强一点，需要前后联通，只看一部分肯定要掉坑，所以这几篇写的都非常多，今天的相似矩阵是对角化引出的另一个重要分支，但是篇幅不大。
在研究这一章的时候总感觉Prof. Strang写的很细致，可以很容易的帮你知道什么是什么但是如果想了解点深入的背后的东西，由于篇幅限制（可以看出老先生有意的控制篇幅，并没有长的长的短的短，所有章节长度基本相同）没有深入讨论，也可能线性代数的introduction仅限于这些，更深入的话可能就是另一门课了，所以后续可能出个矩阵论或者矩阵分析类的系列博客。

Similar Matrices

Similar相似，但又不同，如果说某两件事物相似，那么必然有相似点，也就是这两件事物的某一属性，或者某几个属性一致，那么如果说两个矩阵相似，有可能是形状，比如上三角矩阵，对角矩阵，这些矩阵都有相同的属性，我们这里定义矩阵相似–拥有相同的特征值。

本章我们研究的主要内容是矩阵的对角化，对角化的前提是有足够的特征向量，也就是说如果某个矩阵特征向量不足，那么就没办法产生特征向量矩阵$S$ 那么我们就不研究他们了，😁我们这里不研究特征向量不够的情况，同样，本文中我们也是研究有足够特征向量的矩阵，如果矩阵$A$ invertible,那么可逆矩阵$M$ 构成的$MAM^{-1}$ 的新矩阵是 $A$ 的相似矩阵，因为$M$ 的多样性，所以相似矩阵不是唯一的相反的，应该是一群（family）。

Definition: Let $M$ be any invertible matrix.Then $B=M^{-1}AM$ is similar to $A$

因为我上面剧透了，相似矩阵是有相同特征值的矩阵，但是如果我们不知道这个性质，我们来观察下面这个过程,假设矩阵 $M$ 可逆：
$B=M^{-1}AM\\ A=MBM^{-1}\\ set:\;N=M^{-1}\\ then:\;N^{-1}=M\\ A=N^{-1}BN$

要说的是 $B=M^{-1}AM$ 和 $A=N^{-1}BN$ 无论是长相和性质都极为相似，那么根据定义A相似与B，B也相似与A，所以相似是个可逆的，即可以反过来的。
对角化后的 $\Lambda$ h和原始矩阵A也是相似的，当$M=S$ 的时候，使得相似矩阵B变成了 $\Lambda$

线性代数和微分方程关系紧密（线性代数是基础学科，所以跟基本谁都有关系），比如对于微分方程 $\frac{du}{dt}=Au$ ,我们对变量 $u$ 进行代换 $u=Mv$ 其中M是可逆的常数矩阵：
$\frac{du}{dt}=Au\\ \frac{dMv}{dt}=AMv\\ M\frac{dv}{dt}=AMv\\ \frac{dv}{dt}=M^{-1}AMv$

通过代换u和v，我们得到了A的一个相似矩阵，也可以通过将M变成S，这样得到的系数矩阵就是对角矩阵，其实前面有一篇专门讲微分方程的课我们略过了，实际上特征值是可以反应出系统是逐渐偏向增加还是减少的（这个地方听不懂没关系，因为出来的太突然了，没有一点点防备，你就这样出现。。）所以相似矩阵必然有一样的特征值，这样才能进行代换后，不影响系统原始的变化方式，那么，又是那句话，相似矩阵家族的特征值是相同的不然不相似。

下面的关键就是证明特征值没变,假设矩阵A是可对角化的矩阵。

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