【线性代数】7-3:对角化和伪逆(Diagonalization and the Pseudoinverse)

title: 【线性代数】7-3:对角化和伪逆(Diagonalization and the Pseudoinverse)
categories:

• Mathematic
• Linear Algebra
  keywords:
• Diagonalization
• Pseudoinverse
  toc: true
  date: 2017-12-06 14:03:08

---

Abstract: 本文以线性变换的角度重新理解矩阵变换的原理，以对角化和SVD作为主要的案例
Keywords: Diagonalization，Pseudoinverse

开篇废话

傻子不是生出来的，是教出来的，如果一个人从小没人教他如何看问题如何思考，或者他自己也不愿意去思考，别人说什么他都相信，那么这个人将会变成一个温和的劳动者，这个道理我们老一辈革命家们都明白，枪杆子笔杆子就可万世而为君，看个头条都能热血沸腾的人统治成本极低。

Diagonalization and the Pseudoinverse

首先我们要回顾下，并且强调下昨天讲的内容，就是线性变换对应的矩阵，对于不同空间相互变换，知道空间是不能确定矩阵的，还要确定基和相互关系，光知道基也没用，比如求导和求积分的例子告诉我们，必须要知道他们之间的计算关系，或者叫做原始空的基向量线性变换到目标空间后的向量是啥才能确定矩阵A(上一篇的🌰 1)。
接下来的换基运算是在同一个空间下进行的，也就是线性变换后空间不变，空间不变以为这矩阵的Rank不发生变化，想要进行换基操作就要知道新的基和原来的基都分别是什么，然后就能确定出矩阵了。

手工图片，简约而不简单，哈哈，$T_1$就是个典型的夸空间的变换，已知两组基 $\vec{v_n}$ 和 $\vec{w_m}$ 并且要明确的知道 $T(\vec{v_n})$ 是啥，这样才能确定$T_1$ 对应的变换矩阵A是啥。

但是对于$T_2$ 就没有后面的要求了，只要知道两组基 $\vec{v_n}$ 和 $\vec{w_n}$ 就可以确定出$T_2$ 对应的变换矩阵A了；

上面是一个简单的回顾，也是上一篇的高度概括，主要在求变换矩阵上，每个矩阵都对应一个变换，如果已知输入空间，那么根据这个矩阵可以得到一个线性变换的输出空间，我们所有使用到矩阵乘法的地方都可以看成线性变换的过程，当然其中一部分也可以当做换基操作，我们下面的主要研究集中在换基上，也就是同一个空间下的形式转换。

本课程最前面有一句话，就是我们天天变成三角矩阵也好对角矩阵也好，就是为了让矩阵形式变得简单同时，暴露出矩阵的性质（类似于大数据挖掘），而这些所有对角化，消元操作对应的都是矩阵乘法，也即是说，我们可以通过换基来使矩阵变得漂亮（上一篇说过），我们今天就看看怎么通过换基让矩阵变得简洁漂亮。

因

此处为节选，完整内容地址：https://www.face2ai.com/Math-Linear-Algebra-Chapter-7-3转载请标明出处