【概率论】3-9:多随机变量函数(Functions of Two or More Random Variables)

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title: 【概率论】3-9:多随机变量函数(Functions of Two or More Random Variables)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Convolution
- 卷积
toc: true
date: 2018-03-19 10:12:34

Abstract: 本文介绍多随机变量的函数
Keywords: 离散多随机变量的函数，连续多随机变量的函数，卷积

开篇废话

任何一个领域的顶级人才都是需要很久的基础知识积累的，所以根据自己的定位可以适当的补充自己的基础知识：

1. 如果你想进入机器学习这个行业，了解基础技术更重要，你需要会使用python，各种工具包，TensorFlow等基础工具
2. 如果你想在机器学习这个行业稳定的输出而不是撞大运式的调参，你需要了解下网络结构，基础算法，并且你需要非常多的经验去调参。
3. 如果你想成为机器学习的研究者，很遗憾的告诉你，你有一大堆数学要学而且真的不是一两年能学完的，所以还没有毕业的铜须有志于进入研究行列的，大家请多学习数学。

以上为个人理解，每一个等级难度都会提升，但是不保证收入和难度完全成正比。

上文书我们讲到单个随机变量的函数变换，本文我们只进行简单变换，因为我们从试验结果到事件进行了一次映射，事件到随机变量又是一次映射，如果从随机变量再到另一个随机变量还是一个映射，这个过程可能都不是一对一的，所以这个过程是对原始信息的总结和提取，提取对我们有用的信息的方法。通过总结归纳出一个或者多个结构化的函数，可以反映信息的容积。

Random Variables with a Discrete Joint Distribution

Theorem Functions of Discrete Random Variables. Suppose that $n$ random varibales $X_1,\dots ,X_n$ have a discrete joint distribution for which the joint p.f. is $f$ and that $m$ functions $Y_1,\dots ,Y_m$ of these $n$ random variables are defined as follows:
$Y_1=r_1(X_1,\dots,X_n),\\ Y_2=r_2(X_1,\dots,X_n),\\ \vdots\\ Y_m=r_m(X_1,\dots,X_n)$
For given values $y_1,\dots,y_m$ fo the $m$ random variables $Y_1,\dots,Y_m$ let $A$ denote the set of all points $(x_1,\dots,x_n)$ such that:
$r_1(x_1,\dots,x_n)=y_1\\ r_2(x_1,\dots,x_n)=y_2\\ \vdots\\ r_m(x_1,\dots,x_n)=y_m\\$
Then the value of the joint p.f. $g$ of $Y_1,\dots,Y_m$ is specified at the point $(y_1,\dots,y_m)$ by the relation
$g(y_1,\dots,y_m)=\sum_{(x_1,\dots,x_n)\in A}f(x_1,\dots,x_n)$

和单变量函数的套路基本一致，最后的公式是最关键的逻辑核心，也就是 $(x_1,\dots,x_n)\in A$ 是解决问题的关键，换句话说，多变量也好，单变量也好，最后我们要做的都是一个逆向的求解，或者叫做穷举的方法，因为我们并没计算公式能够得到全部的向量 $\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)$ 保证其满足 $\vec{x}\in A$ 所以$g$ 和 $f$ 的关系也就是这么确定的，找到所有f的输入 $\vec{x}$ 使其满足 $\vec{y_0}$ 的需求，求的所有满足条件的概率和。
这部分和单离散随机变量完全一致，只是随机变量变成了随机变量向量了。

下面的定理关于二项分布和伯努利分布：

Theorem Binomial and Bernoulli Distributions. Assume that $X_1,\dots,X_n$ are i.i.d. random variables having the Bernoulli distribution with parameter $p$ .Let $Y=X_1+\dots X_n$ . Then $Y$ has the binomial distribution with parameters $n$ and $p$

当随即向量 $\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)$ 是独立同伯努利分布的随机变量的时候，且其概率为 $p$ ，其函数 $Y=f(x_1,\dots,x_n)$ 的分布是二项分布 参数是 $n$ 和 $p$

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