【概率论】5-5:负二项分布(The Negative Binomial Distribution)

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title: 【概率论】5-5:负二项分布(The Negative Binomial Distribution)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Negative Binomial Distribution
- The Geometric Distribution
toc: true
date: 2018-03-29 08:57:12

Abstract: 本文介绍负二项分布，几何分布的基础知识
Keywords: The Negative Binomial Distribution，The Geometric Distribution

开篇废话

到目前为止，所有的分部都是从Bernoulli 分布衍生出来的：

1. 二项分布，$n$ 次Bernoulli试验的结果中，每次试验的分布不变，结果为1的次数 $X$ 的分布
2. 超几何分布，$n$ 次Bernoulli试验，每次试验分布发生改变，结果为1的次数 $X$ 的分布，当试验分布变化不大的时候和二项分布结果相同
3. 泊松分布，用来在某种特殊情况下（$n$ 比较大， $p$ 比较小，而 $np$ 又不是很大的情况下）近似二项分布，当n趋近于无穷的时候等同于二项分布。

今天我们还是从二项分布出发，研究这样一个事实，对于Bernoulli过程，我们设定，当某个结果出现固定次数的时候，整个过程的数量，比如我们生产某个零件，假设每个零件的合格与否都是相互独立的，且分布相同，那么当我们生产出了五个不合格零件时，一共生产了多少合格的零件，这个数量就是一个负二项分布。
为什么叫负二项分布而不是正二项分布？
有两种说法，第一我们上面说到的例子，多半是失败到了固定次数时 $X$ 的分布，另一种是站在分布的系数上来观察的，在下面我们可以看得到。

Definition and Interpretation

废话中给出的生产零件的例子就是引出定义的关键。我们来先看一个定理，描述上面过程的定理：

Theorem Sampling until a Fixed Number of Success.Suppose that an infinite sequence of Bernoulli trails with probability of success $p$ are available.The number $X$ of failures that occur before the $r$th success has the following p.d.f.
$f(x|r,p)= \begin{cases} \begin{pmatrix} r+x-1\\ x \end{pmatrix}p^r(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$

证明如下
首先我们必须分析一下这个过程，当成功的次数达到目标后停止试验，也就是说最后一次必然是成功的，不然试验不会结束，所以我们需要的是在已经进行了的 $x+r-1$ 次实验中完成 $r-1$ 次成功，$x$ 次失败，那么从计数原理角度，概率为：
$\begin{aligned} Pr(A_n)&=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{(n-1)-(r-1)}p\\ &=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{(n-r)}p \end{aligned}$

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