【概率论】5-8:Beta分布(The Beta Distributions)

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title: 【概率论】5-8:Beta分布(The Beta Distributions)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Beta Distribution
toc: true
date: 2018-04-02 15:14:12

Abstract: 本文介绍Beta分布的相关知识内容
Keywords: The Beta Distribution

开篇废话

我们预测未来某件事情是否发生的主要依据是先验知识，于是我相信，自古流传至今的那些道理应该是值得信任的，人无信不立，立壁千仞无欲则刚，生于忧患死于安乐，这些所谓的被我曾经鄙视的大道理，现在看看，真的是值得我自己坚持的，我大中华文化几千年，流传出来的一定是被很多人验证过的先验知识，而现在这些有钱的爸爸总结出来的可能只适用于这个时代，想要追求真理，安全起见还是要多读古人的智慧。
本文继续在连续随机变量上进行探索，Gamma分布的随机变量是满足某些条件下的所有正实数，而我们今天要研究的beta族分布是分布在 $[0,1]$ 区间上的一种类型的连续分布。一个最常见的例子，是Bernoulli过程中对每次试验的成功概率的建模。
Bernoulli过程就是多次的独立的试验形成的一个结果序列，这个系列中每个随机变量的成功概率就可以用Beta分布来建模。

The Beta Function

和Gamma分布一样，Beta分布也是先有的Beta函数，先来看个例子，这个例子可以引出我们的Beta函数。
🌰 ：
一个机器制造零件，只有两种情况就是合格和不合格，不会出现第三种情况，我们让 $P$ 表示不合格的零件占总零件的比例，假设我们得到了n个零件，其中X个不合格，我们假设在给定条件P下每个零件的合格与否条件独立，那么我们就能得出在3.6中的例子，对应这个例子，当给定 $X=x$ 的条件下 $P$ 的分布：
$g_2(p|x)=\frac{p^x(1-p)^{n-x}}{\int^{1}_{0}q^x(1-q)^{n-x}dx} \text{ for }0<p<1$

这个p.d.f.就是我们今天要研究的主角，在研究完整分布之前，我们先来研究这个分母

Definition The Beta Function .For each positive $\alpha$ and $\beta$ ,define:
$B(\alpha,\beta)=\int^{1}_{0}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$
the function B is called the beta function

所以上述就是beta函数的定义，也是上面例子中的分母的形式，可以看出beta函数中的 $\alpha,\beta > 0$
本文后面用到了3.9的一部分知识未在博客中体现，预计作为补充内容在下一部分给出，所以这个地方有些可以跳过。或者通过书本学习相关内容。

Theorem For all $\alpha,\beta >0$ ,
$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

这个命题的证明就用到了上面说的3.9的一部分选学内容，我们后面会给出相关证明，但是目前我们就当做此定理已经证明。

Definition of the Beta Distributions

那么我们接下来就要定义Beta分布了。

Definition Beta Distributions.Let $\alpha ,\beta >0$ and let X be a random variable with p.d.f.
$f(x|\alpha,\beta)= \begin{cases} \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}&\text{ for }0<x<1\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}\tag{5.8.3}$

观察可以发现，如果 $\alpha=1,\beta=1$ 那么5.8.3就是 $[0,1]$ 的均匀分布。

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