第六章 近似算法
一. 近似算法的基本概念
首先什么是NP-完全问题(这部分参考博文：http://blog.csdn.net/xueyong4712816/article/details/6509592)：NP=Non-deterministic Polynomial，也就是多项式复杂程度的非确定性问题。要了解NP问题，先从P问题开始，P就是Polynomial（多项式）的意思。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。多项式就是n^k+n^(k-1)+……等等其中k为任意整数（一般不会很大）。这个数看起来很大，其实人类计算机相对都能接受。就怕遇到指数方增长的问题。
接下来探讨非确定性问题。什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。
完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。
了解了上述的概念之后，我们便可以理解ppt中的第二点：求解NP-完全问题很难，若输入规模小倒是可以穷举，否则用多项式算法近似，这也是本章的主题。
怎么理解那个Ratio Bound呢？第一点明白OPT是最优解，我们的近似解不可能优于它，所以对于最大化问题，A一定比OPT小而对于最小化问题A一定比OPT大，所以上面的连个max取了不同的值。注意这里的Ratio Bound指的是那个B(n),即是max{A/OPT, OPT/A}的上界。
结论：只要求出了Ratio Bound，就求出了相对误差。
二. 一些经典问题
1. 顶点覆盖问题
问题：给定一个N个点M条边的无向图G（点的编号从1至N），问是否存在一个不超过K个点的集合S，使得G中的每条边都至少有一个点在集合S中。简而言之就是在一无向图中找一个点集，满足：最小点集&&图中的每条边至少有一个点在这个点集中。这里一开始疑惑为什么顶点覆盖问题是NP-完全问题。。。 ，百度了下之后发现。。。。我了个擦。。。 Np问题这么难，等我把我那本算法导论NP完全性啃完再来分析下这里，现在的重点在近似算法上。
