第五章 摊还分析
1. 什么是摊还分析？
对一个数据结构(例如栈)执行n个操作，其中有的操作代价高，有的操作代价低，有些操作代价中等。而摊还分析是用来评价程序中的一个操作序列的平均代价，有时可能某个操作的代价特别高，但总体上来看也并非那么糟糕，可以形象的理解为把高代价的操作“分摊”到其他操作上去了，要求的就是均匀分摊后的平均代价。(参考了这篇博文：http://www.cnblogs.com/hezhihao/p/4185816.html)
要强调一点就是，摊还分析中赋予对象的信用或者费用，仅仅是用来分析而已，不需要也不应该出现在程序中。它并不涉及不同输入出现的概率，可以保证最坏情况下每个操作的平均性能。
摊还分析有三种常用的技术：聚合分析，核算法，势能法。
首先看个例子，现在有三种操作，push(s),pop(s),mutlipop(s,k),push(s)，统称为栈操作。 push(s)每次只能压一个数据，所以规定操作的代价为1，pop(s)每次只能弹一个数据，所以也规定操作的代价为1，而mutlipop(s,k)，内部实现的是一个循环弹出，每执行一次的代价为k（k<n,n为栈的最大容量）。那么现在问题来了，我想分析下执行n次栈操作最坏情况下的时间复杂度是多少？第一反应应该就是这样想的，mutlipop(s,k)的代价最高，最高位k=n;
执行n次的最坏情况当然就是o(n2)，当实际上并非如此。
2. 聚合分析，核算法，势能法
聚合分析要求我们要总体看问题，首先mutlipop(s,k)也是个弹栈的操作，当栈里有数据的时候才执行有效，所以上述提到的o(n2)是不科学的，而push(s),pop(s)的代价是1，可想而知最坏的情况当然是前n-1次操作都是压栈，而最后一次才执行mutlipop(s,n-1)，这样的代价也只有2n-2,时间复杂度为o(n)，平均下来每个操作的摊还代价就为o(1)了。
核算法比较好理解，进行摊还分析时，摊还的代价有可能多于实际的代价，也有可能少于实际的代价，多于实际代价的差额会存进一个数据结构中，称为信用，而当遇到少于实际代价的时候就可以用这些信用来填充了。注意这些什么算法提供的只是思路，求出一系列操作代价的上界的思路，具体的做法还是要自己思考的。
同样是压栈的例子，我们可以赋给Push(s)操作的摊还代价是2，相当于自己使用了1，而压进去的必定会弹出，剩下的1就作为弹出时的费用，这样pop(s)和mutlipop(s,k)的摊还代价就为0，这样做有什么意义？试着现在思考下题目中的问题（标红色的部分），那么可想最糟糕的情况无非就是所有操作都是Push(s)，代价为2n，并不像聚合代价那样需要考虑其他两个操作（摊还代价为0），时间复杂度为O(n)。
势能法,势能法其实核算法有点相似，也有预付差额的，但不叫信用，而叫势能，势能法是从整体上看的，不像核算法那样具体到某个操作，而是整体的势能。势能法定义了一条公式:
Ci(摊还)=Ci(实际)+f(Di)-f(Di-1) （1）
累加可得总摊还代价的公式为;
Ci(总摊还)= Ci(总实际)+ f(Di)-f(D0) （2）
其中Ci 为每步操作的代价，f(Di)表示执行了第i个操作后的势能，那个这个公式就可以理解为 第i步操作的摊还代价等于第i步操作的实际代价加上从第i-1步操作到第i步操作的势能变化,理解这个后，再来看栈操作的例子。
同样Push(s)、pop(s)的代价为1, mutlipop(s,k)的代价为k,我们规定入栈一个元素势能加1，弹出一个元素势能减1，那么f(Di)永远为非负,而f(D0)等于0，再根据上面的公式（2）即可知道这个又这里就可以确定总摊还代价是总实际代价的上界，所以现在要求的就是总摊还代价。根据公式（1）可以得到Push(s)的摊还代价为2，pop(s)的摊还代价为0，mutlipop(s,k)的摊还代价也为0 （因为弹栈势能要减，刚好和代价抵消，也可以看做势能都用来支付代价了，所以下降了），那么又回到了核算法了，可得时间复杂度为O(n)。
3. 一些例子
(1) 二进制计数器
聚合分析要求整体看待问题，那么对于二进制计数器考虑总体情况的话，最低位第0为每次加1时都会翻转一次，所以n次的加法操作，第0位总共翻转n次。对于第1位，每2次的加法操作才会翻转一次，所以n次的加法操作共有n/2次翻转，以此类推。
核算法：对于一次置位操作（将该位值置为1的操作），我们设其摊还代价为2。在进行一次置位操作时，我们花1个单位的代价来支付其本身的实际代价，剩余1单位作为信用，用来支付将来可能的复位操作（将该位值置为0的操作）的代价。这样就保 证了在任何时刻的信用值是非负的。因此，总实际代价的上界为总摊还代价。而在一次increment操作中，只进行一次置位操作，因此总摊还代价O(n)。
势能法：首先将每一步的势能f(Di)定义为二进制计数器中，位上是1的位数。显然f(Di)≥f(D0)=0。再分析摊还代价，对于一次加1操作，总是将k位置为0，将一位置为1(即k个复位操作，一个置位操作), 所以势能变化是 -k+1 , 摊还代价在势能法中是 实际代价和势能变化之和，故为 k+1 + (-k+1) =2; 所以n次加1操作的总摊还代价是O(N), 因此实际的最坏情况是O(n)。
(2) 表扩张
问题定义：假设有个表(比如哈希表)只允许插入，当插入数据发现表满了，会自动新建一个表大小为原来的两倍，然后把已有的数据复制过去，再插入，在问题就是要求这个程序的代价，准确来说是摊还代价。
下面部分参考了这篇博文：http://blog.csdn.net/zhongkelee/article/details/44563355
(a) 聚合分析
定义第i个插入操作的代价 ci 为：
如上表格所示，我们将插入一个元素的代价看成1，假设一开始表的大小为1，没有数据。如果表格没有被插满，此时每一次插入元素的代价为1；如果表格满了，易知此时表格的大小都为2的幂次，这时插入一个元素的代价就是原有的元素插入新表中的代价k（假设原表满时有k个元素）加上新插入的这1个元素(比如上图中的第二步插入，因为表满了需要将表的长度扩张为2，然后要将表中原来的元素和现在要插入的元素都要插到新表中，所以代价是2)，所以上表可以用下面的形式表示：
则总代价是：
所以，摊还代价(每个操作的平均性能)就是：
(b) 核算法
核算法用于动态表时，它赋予每个插入操作3元，即，其中1元用于支付当前的插入操作，剩下的2元存入用于后续的表格翻倍处理。当表格翻倍时，1元用于移动最新项，也就是刚才插入操作的元素把这1元保留做自己的信用；另1元用于移动旧项，也就是刚才插入操作的元素把这1元捐赠给了原本就在表中但没有信用的旧元素。(要注意原本已经在表中的元素是没有信用可用的，表翻倍时要移动他们到新表中的)
这样一来，每当表格翻倍时，原来表格中的数据所持有的信用刚好可以满足自己的插入需求，m大小的表格中，m/2的元素没有信用，而且已经完成插入操作，仿佛又回到了最初的形态，有点像递归。如此一来，每个插入操作被赋予3元的操作代价就可以满足无限次的扩展表格的需求。如下图所示：
核算法分析这个问题时，关键点在于存入的信用永远都是非负的，因而摊还代价的总和提供了实际代价的一个上界。
(c) 势能法
我们定义势能函数为：
那么第i个插入操作的摊还代价为：
对于上式情况一：
对于上式情况二：
结论：在一个动态表上执行任意n个操作的实际运行时间为O(n)，其中每个操作的摊还代价的上界是一个常数。
