集合幂级数

首先集合并卷积和集合异或卷积就是$FWT$。

论文里好像就是用反演解释了一下$FWT$。

对于一个集合幂级数$f$,定义它的莫比乌斯变换为$\widehat f$

$\widehat f_S=\sum_{T \in S}f_T$

反演(容斥可以很简单的证明)一下就变成了

$f_S=\sum_{T \in S}(-1)^{(|S|-|T|)} \widehat f_T$

$\widehat h_S=\sum_{L \in S, R\in S}f_Lg_R=(\sum_{L \in S}f_L) (\sum_{R \in S}g_R)=\widehat f_S \widehat g_S$

所以可以先求出$\widehat f$和$ \widehat g$，然后对应项相乘求出$\widehat h$,再反演出$h$。

感觉集合对称差卷积解释的不太好。

子集卷积

$h_s=\sum_{L \in S,R \in S}[L\cup R =S][L\cap R =\emptyset]f_Lg_R$

因为$[L\cup R =S][L\cap R =\emptyset]$可以写成$[L\cup R =S][|L|+|R|=|S|]$，我们可以用再增加一维表示集合大小。

$\sigma _{i,S}=[i=|S|]f_s$

我们求出$f$和$g$的集合占位幂级数$ \sigma$和$\tau$，求出$\theta$，其中

$\theta_{i,S} = \sum_{j+k=i,L \cup R =S} \sigma_{j,L}\times \tau_{k,R}$

因为当$i=|S|,\sigma_{j,L}\times \tau_{k,R} \neq 0$时也必定满足$j=|L|,k=|R|$，就相当于子集卷积变成了集合与卷积了。

最开始感觉复杂度是$n^32^n$,因为集合幂级数乘法是$n2^n$,形式幂级数乘法是$n^2$。

然而发现再把$\sigma$和$\tau$反演后直接做一次乘法是$2^n$的，做多次乘法时并不需要每次都反演一遍，不影响总复杂度，所以复杂度是$n^22^n$。