树形依赖背包的优化方法

树形依赖背包问题

每个点有个权值和体积，如果选了某个点那么它的父亲也必须选，问体积和<=m的最大权值和。

如果体积都为1，那么直接做是$n^2$的。

否则是$nm^2$的。

我们考虑求出树的后序遍历，那么对于$i$这棵子树，它在后序遍历上是连续一段，并且$i$在最后。

考虑$i$选还是不选，如果选的话$f[i]$可以从$f[i-1]$转移过来，否则直接从$f[i-size[i]]$copy过来。

复杂度$nm$，当然也适用于树上的完全背包和多重背包。

 

例题：

4910: [Sdoi2017] 苹果树

树形依赖多重背包，并且可以无视体积选某一条链上每个点一次。

 

贪心的选，这条链一定是以叶子结尾。

枚举叶子，这条链把树分成了两部分，枚举左边选的体积，就能求出右边的体积，更新答案，复杂度$nm$。

我们现在需要知道对于这条链左边和右边选体积为$k$的最大权值，这个其实就是正反(遍历子树的顺序相反)后序遍历的一个前缀，可以预处理出来。