AtCoder Grand Contest 010 D - Decrementing
题目描述
有n个整数，其中第i个数为Ai。这些数字的gcd为1。两人轮流操作，每次操作把一个大于1的数减1，并把所有数除以所有数的最大公约数，最后无法操作者输，求是否先手必胜。
如果当前的sum为偶数，那么减一之后sum变为奇数，gcd必为奇数，而任意数除一个奇数后奇偶性不变，故这步走完后sum必然为奇数。
如果当前的sum为奇数，减一之后sum变为偶数，如果当前全为偶数，那么除完gcd后奇偶不一定，否则sum依然为偶数。
当局面全为1的时候先手必败，此时的奇偶为$n%2$，考虑先手怎样控制局面取得胜利。
假设先手的局面$sum\%2!=n\%2$,那么先手一定必胜，后手改变局面的唯一机会是使减完后gcd为2的倍数，则n个数都%2后必须只有一个1，先手只要每回把一个0变成1后手就无法翻盘。
那如果$sum\%2=n\%2$，如果满足n个数%2后只有一个1且先手必须要把1变0先手才可能赢，否则必败。
模拟一下过程，gcd为2的倍数的次数最多log次。
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define ll long long
3 using namespace std;
4 int n;
5 int a[100005];
6 ll sum=0;
7 void print(int x)
8 {
9 if(!x)puts("First");
10 else puts("Second");
11 }
12 int gcd(int x,int y)
13 {
14 if(!y)return x;
15 return gcd(y,x%y);
16 }
17 int main()
18 {
19 scanf("%d",&n);
20 for(int i=1;i<=n;i++)
21 {
22 scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];
23 }
24 int now=0;
25 while(1)
26 {
27 if(n%2!=sum%2)return print(now),0;
28 int id=0;
29 for(int i=1;i<=n;i++)
30 {
31 if(a[i]%2==1&&a[i]!=1)
32 {
33 if(!id)id=i;
34 else return print(now^1),0;
35 }
36 }
37 if(!id)return print(now^1),0;
38 a[id]--;
39 int g=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)g=gcd(g,a[i]);
40 sum=0;
41 for(int i=1;i<=n;i++)a[i]/=g,sum+=a[i];
42 now^=1;
43 }
44 return 0;
45 }
