2017 3 11 分治FFT
考试一道题的递推式为$$f[i]=\sum_{j=1}^{i} j^k \times (i-1)! \times \frac{f[i-j]}{(i-j)!}$$
这显然是一个卷积的形式，但$f$需要由自己卷过来(我也不知到怎么说)，以前只会生成函数的做法，但这题好像做不了(谁教教我怎么做)，于是无奈的写了一发暴力，看题解发现是分治FFT.
分治每层用$f[l]-f[mid]$与$a[1]-a[r-l]$做NTT。
这样显然每个$f[l]-f[mid]$对$f[mid+1]-f[r]$的贡献都考虑到了。
因为分治是从1开始的，所以$f[0]$的转移预处理了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #define ll long long 6 #define N 400005 7 using namespace std; 8 int n,k; 9 const int p = 998244353; 10 ll poow[N],jie[N],ni[N]; 11 ll pw(ll x,ll y) 12 { 13 ll lst=1; 14 while(y) 15 { 16 if(y&1)lst=lst*x%p; 17 x=x*x%p; 18 y>>=1; 19 } 20 return lst; 21 } 22 ll f[N]; 23 int R[N],a[N],b[N]; 24 void NTT(int *a,int n,int f,int L) 25 { 26 for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); 27 for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]); 28 for(int i=1;i<n;i<<=1) 29 { 30 int wn=pw(3,((p-1)/(i<<1)*f+p-1)%(p-1)); 31 for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) 32 { 33 int w=1; 34 for(int k=0;k<i;k++,w=1LL*w*wn%p) 35 { 36 int x=a[j+k],y=1LL*a[j+k+i]*w%p; 37 a[j+k]=(x+y)%p;a[j+k+i]=(x-y+p)%p; 38 } 39 } 40 } 41 if(f==-1) 42 { 43 int nw=pw(n,p-2); 44 for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1LL*a[i]*nw%p; 45 } 46 return ; 47 } 48 void solve(int l,int r) 49 { 50 if(l==r) 51 { 52 f[l]=f[l]*jie[l-1]%p; 53 return ; 54 } 55 int mid=(l+r)>>1; 56 solve(l,mid);int len=r-l+1;int m=len<<1; 57 for(int i=1;i<len;i++)a[i]=poow[i]; 58 for(int i=l;i<=mid;i++)b[i-l]=f[i]*ni[i]%p; 59 int L=0;for(len=1;len<m;len<<=1)L++; 60 for(int i=mid-l+1;i<len;i++)b[i]=0; 61 NTT(a,len,1,L);NTT(b,len,1,L); 62 for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1LL*a[i]*b[i]%p; 63 NTT(a,len,-1,L); 64 for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]+a[i-l])%p; 65 solve(mid+1,r); 66 } 67 int main() 68 { 69 scanf("%d%d",&n,&k); 70 jie[0]=1;ni[0]=1; 71 for(int i=1;i<=n;i++)jie[i]=(jie[i-1]*i)%p; 72 for(int i=1;i<=n;i++)ni[i]=pw(jie[i],p-2); 73 poow[0]=1; 74 for(int i=1;i<=n;i++)poow[i]=pw(i,k); 75 for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=poow[i]; 76 solve(1,n); 77 printf("%lld\n",f[n]); 78 return 0; 79 }
