直观理解牛顿迭代法
概述
牛顿迭代法是一种数值算法,可以用于求函数的零点。其思想在于把函数抽象为直线,一步步用估计逼近函数的零点。
其逼近速度非常有效,常常在十几步迭代内就能求得非常精确的结果,十分高效。
引理
考虑在如下坐标系\(xOy\)中的一条直线:
其值在\(x=x_0\)时取值为\(y_0\)。那么这条直线与\(x\)轴的交点的\(x\)坐标\(A\)为多少?
设这条直线的解析式为\(y=kx+b\),则有
\[y_0=kx_0+b
\]
即
\[b=y_0-kx_0
\]
令\(y=0\),得方程
\[kx+y_0-kx_0=0
\]
解得
\[x=\frac{kx_0-y_0}{k}
\]
即
\[x=x_0-\frac{y_0}{k}
\]
牛顿迭代法
我们正式开始使用牛顿迭代法求函数\(f(x)\)的零点。
问题:试求\(\sqrt{2}\)的近似值。
原命题等价于求函数\(f(x)=x^2-2\)的零点。
第一步:猜测初始值
首先我们随便猜测一个值。不妨设为\(x=4\)吧。
第二步:迭代
过\((x,f(x))\)点作\(f(x)\)的切线,得到:
根据导数的几何意义,这条直线的斜率为\(f'(x)\),则根据我们前面得到的结论,这个函数与\(x\)轴的交点的\(x\)坐标为
\[x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
\]
根据最理想的估计,如果导数不变的话,零点应该就在那个位置。那么我们令\(x=x'\),这称为一次迭代。
回到例子。\(f(x)=x^2-2\),则\(f'(x)=2x\),则有:
\[x'=x-\frac{f(x)}{f'(x)}=x-\frac{x^2-2}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}
\]
每次用\(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\)替代\(x\),重复以上过程:
可以看到,仅仅进行了六次迭代,就得到了\(20\)位的精确值。
程序如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
double a,x;
double f(double x){return x*x-a;}
double df(double x){return 2*x;}
int main(){
scanf("%lf",&a);
x=1;
while(fabs(f(x))>=eps)x-=f(x)/df(x);
printf("%.10lf\n",x);
}