[生成函数]ARC106F Figures

题目大意：

有\(n\)的点，每个点有一个权值\(d_i\)，表示这个点上有多少个孔。你可以连接\(n-1\)条边，每条边可以连接分别属于两个点的两个孔。一个孔不能连两条边。要求最后这样使这\(n\)个联通，即找到完全图的一个生成树。

前置知识

来自于prufer序列的一个结论：在完全图中，如果\(n\)个点的度数分别为\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)，那么满足这种条件的生成树个数是

\[\frac{(n-2)!}{\prod\limits_{k=1}^n(D_k-1)!} \]

吸收/提取恒等式：

\[\binom{n}{m}=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1} \]

题解

考虑在最后的一种生成树中，\(n\)个点的度数分别为\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)。因为每个点在选择要连接的孔时是有序的，则这种方案的贡献是：

\[\frac{(n-2)!}{\prod\limits_{k=1}^n(D_k-1)!}\prod_{k=1}^n\binom{d_k}{D_k}D_k! \]

注意到\(\sum\limits_{k=1}^nD_k=2(n-1)\)，所以事实上，我们可以构造出一个卷积来求答案\(S\)。

\[Ans=(n-2)![x^{2n-2}]\prod_{k=1}^nF_k(x) \]

\[\begin{align*} F_t(x)&=\sum_{k=0}^\infty\binom{d_t}{k}\frac{k!}{(k-1)!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\binom{d_t}{k}k x^k\\ &=\sum_{k=1}^\infty\binom{d_t-1}{k-1}d_tx^k\\ &=d_t\sum_{k=0}^\infty\binom{d_t-1}{k}x^{k+1}\\ &=d_tx\sum_{k=0}^\infty\binom{d_t-1}{k}x^k\\ &=d_tx(1+x)^{d_t-1} \end{align*} \]

记\(S\)为所有\(d\)的和，\(T\)为所有\(d\)的积，我们有：

\[\begin{align*} Ans&=(n-2)![x^{2n-2}]\prod_{k=1}^nd_kx(1+x)^{d_k-1}\\ &=(n-2)![x^{2n-2}]Tx^n(1+x)^{S-n}\\ &=(n-2)!T[x^{n-2}](1+x)^{S-n}\\ &=(n-2)!T\binom{S-n}{n-2}\\ &=T(S-n)^\underline{n-2} \\ \end{align*} \]

问题解决。时间复杂度\(O(n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
int n;
ll sn,ans=1;
inline ll add(ll a,ll b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline ll mul(ll a,ll b){return a*b%mod;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		sn=add(sn,x);
		ans=mul(ans,x);
	}
	for(int i=0;i<n-2;i++)ans=mul(ans,sn-n-i);
	printf("%lld\n",ans);
}