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#1、多项式的两种表示法 ##1.系数表示法 我们最常用的多项式表示法就是系数表示法，一个次数界为$n$的多项式$S(x)$可以用一个向量$s=(s_0,s_1,s_2,\cdots,s_n-1)$系数表示如下： $$S(x)=\sum_s_kxk \[ 系数表示法很适合做加法，可以在$O(n)$的 阅读全文
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Description \[ \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\mu(j k)\pmod{2^{32}} \] 其中$n\le10^9.$ Solution 首先是莫比乌斯反演经典套路。 \[ \begin{align*} \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\mu(j 阅读全文
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题目大意： 有$n$的点，每个点有一个权值$d_i$，表示这个点上有多少个孔。你可以连接$n-1$条边，每条边可以连接分别属于两个点的两个孔。一个孔不能连两条边。要求最后这样使这$n$个联通，即找到完全图的一个生成树。 前置知识 来自于prufer序列的一个结论：在完全图中，如果$n$个点的度数分别 阅读全文
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阿狸有一个可重集合$A$，$A$中有$n$个元素，因此$A$有$2n$个子集。对于每个$A$的子集$x$，定义$f(x)$的值为，使$x$的所有元素都相同的最少操作步数。操作有两种： 选择$x$中的一个元素，把这个数乘上某个质数$p$。 选择$x$中的一个元素，把这个数除掉某个质数$p$。这个数必须 阅读全文
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形式 \[ g(n)=\sum_{k=1}^nf(k)k \] 技巧 我们记 \[ s(n)=\sum_{k=1}^nf(k) \] 有 \[ \begin{align*} g(n)&=\sum_{k=1}^nf(k)\sum_{j=1}^k1\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^ 阅读全文
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\[ \binom{sp+q}{tp+r}\equiv\binom{s}{t}\binom{q}{r}\pmod{p} \] 其中$p$为质数。 引理 \[ \binom{p}{k}\equiv 0\pmod{p} \] 其中$p$为质数，$0<k<p$ 由 \[ \binom{p}{k}=\fra 阅读全文
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Description 有一只坏了的机器人站在一个$n\times m$的网格里，初始位置在$(x,y)$。现在每个单位时间内它会随机选左右下三个方向走，如果它随机的方向会走出网格就不会往这个方向走。当然这个机器人也可能原地停留一个单位时间。求机器人走到第$n$行的期望时间。 满足$n,m\le 1 阅读全文
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一个经典问题 求 $$ \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) $$ 一般的做法是使用$\varphi(n)$函数。 不经典的做法 $$ \begin{align } \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) &=\sum_{k=1}^n\frac{nk}{\g 阅读全文
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概述 牛顿迭代法是一种数值算法，可以用于求函数的零点。其思想在于把函数抽象为直线，一步步用估计逼近函数的零点。 其逼近速度非常有效，常常在十几步迭代内就能求得非常精确的结果，十分高效。 引理 考虑在如下坐标系$xOy$中的一条直线： 其值在$x=x_0$时取值为$y_0$。那么这条直线与$x$轴的交 阅读全文
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问题 BSGS被用于求解离散对数，即同余方程： \[ A^x\equiv B\pmod{P} \] 求$x$的最小非负整数解。 保证$A\perp P$(互质)。 分析 首先，我们根据费马小定理，有 \[ A^{P-1}\equiv 1\pmod{P} \] 则显然有 \[ A^{x-k(P-1)} 阅读全文
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#题面 #分析 设$$F(n,k)\equiv\sum_n\frac{1}\pmod{pk}$$ $p$的倍数都没有逆元，因此一定是把$p$的倍数的倒数里的$p$提出后剩余部分为$p$的倍数。因为题目保证有解，因此我们按这个思路分开求就好了。 不妨先设$n$为$p$的倍数，剩余暴力即可。 再设出不为 阅读全文