摘要:
#1、多项式的两种表示法 ##1.系数表示法 我们最常用的多项式表示法就是系数表示法,一个次数界为n的多项式S(x)可以用一个向量s=(s0,s1,s2,⋯,sn−1)系数表示如下: $$S(x)=\sum_s_kxk \[ 系数表示法很适合做加法,可以在O(n)的 阅读全文
摘要:
Description \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\mu(j k)\pmod{2^{32}} 其中n\le10^9. Solution 首先是莫比乌斯反演经典套路。 \[ \begin{align*} \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\mu(j 阅读全文
摘要:
题目大意: 有n的点,每个点有一个权值d_i,表示这个点上有多少个孔。你可以连接n-1条边,每条边可以连接分别属于两个点的两个孔。一个孔不能连两条边。要求最后这样使这n个联通,即找到完全图的一个生成树。 前置知识 来自于prufer序列的一个结论:在完全图中,如果n个点的度数分别 阅读全文
摘要:
阿狸有一个可重集合A,A中有n个元素,因此A有2n个子集。对于每个A的子集x,定义f(x)的值为,使x的所有元素都相同的最少操作步数。操作有两种: 选择x中的一个元素,把这个数乘上某个质数p。 选择x中的一个元素,把这个数除掉某个质数p。这个数必须 阅读全文
摘要:
形式 g(n)=\sum_{k=1}^nf(k)k 技巧 我们记 s(n)=\sum_{k=1}^nf(k) 有 \[ \begin{align*} g(n)&=\sum_{k=1}^nf(k)\sum_{j=1}^k1\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^ 阅读全文
摘要:
\binom{sp+q}{tp+r}\equiv\binom{s}{t}\binom{q}{r}\pmod{p} 其中p为质数。 引理 \binom{p}{k}\equiv 0\pmod{p} 其中p为质数,0<k<p 由 \[ \binom{p}{k}=\fra 阅读全文
摘要:
Description 有一只坏了的机器人站在一个n\times m的网格里,初始位置在(x,y)。现在每个单位时间内它会随机选左右下三个方向走,如果它随机的方向会走出网格就不会往这个方向走。当然这个机器人也可能原地停留一个单位时间。求机器人走到第n行的期望时间。 满足$n,m\le 1 阅读全文
摘要:
一个经典问题 求 \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) 一般的做法是使用\varphi(n)函数。 不经典的做法 $$ \begin{align } \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) &=\sum_{k=1}^n\frac{nk}{\g 阅读全文
摘要:
概述 牛顿迭代法是一种数值算法,可以用于求函数的零点。其思想在于把函数抽象为直线,一步步用估计逼近函数的零点。 其逼近速度非常有效,常常在十几步迭代内就能求得非常精确的结果,十分高效。 引理 考虑在如下坐标系xOy中的一条直线: 其值在x=x_0时取值为y_0。那么这条直线与x轴的交 阅读全文
摘要:
问题 BSGS被用于求解离散对数,即同余方程: A^x\equiv B\pmod{P} 求x的最小非负整数解。 保证A\perp P(互质)。 分析 首先,我们根据费马小定理,有 A^{P-1}\equiv 1\pmod{P} 则显然有 \[ A^{x-k(P-1)} 阅读全文
摘要:
#题面 #分析 设F(n,k)\equiv\sum_n\frac{1}\pmod{pk} p的倍数都没有逆元,因此一定是把p的倍数的倒数里的p提出后剩余部分为p的倍数。因为题目保证有解,因此我们按这个思路分开求就好了。 不妨先设n为p的倍数,剩余暴力即可。 再设出不为 阅读全文