可持久化线段树——主席树

前言：
最近心(po)血(yu)来(ya)潮(li)学习了一下主席树。（再不学就落伍了）
主席树，即可持久化线段树，支持维护和查询区间的第\(k\)大（小）、区间不同种类个数等，基于线段树的思想之上

结构分析

主席树会维护\([1,n]\)中点的个数（可以理解为，一颗弹珠从树根放下，滑到叶节点时，走过的路径都\(+1\)）
现在假设有一组数 \(\{a_1,a_2,...,a_7\}\)，离散化后编号为 \(\{1,2,...,7\}\)，现在以\(\{1,7,6,2,3,5,4\}\)的顺序进入主席树
下面来演示一下这个过程（PowerPoint冠名）








下面来张动图（PowerPoint冠名）

耐心等一会，总会等到GIF开头的（该动图时长32秒）

那么通过这种结构该如何寻找区间第\(k\)大（小）值呢？

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算法实现

还是原来的数组 \(\{1,7,6,2,3,5,4\}\)，现在来举个栗子：求\([2,5](\{7,6,2,3\})\)这一段的第\(2\)小值（\(3\)）
首先要了解这样一个概念：求区间第\(k\)小值，相当于在区间内找一个值，使有\(k\)个数小于等于这个值（废话）

不(hen)难发现，在主席树里，左子树的值一定小于右子树的值。那么，只要判断左子树里的数的个数是否\(\ge2\)，如果是，那么区间第\(2\)小值一定在左子树里，反之在右子树里
那么能否建\(N\)棵线段树呢？　　　 ：小朋友，我来了！
通过认真的观察，发现——


这两张图中，真正修改了值的节点并不多。这时，两棵线段树完全可以使用共用的节点，这样就可以大大的降低空间复杂度。那么，该如何处理\([l,r]\)中比当前值小的数的个数呢？
这里就要用到二分和前缀和的思想了。举个栗子，如果\([1,l-1]\)中有\(sum_1\)个数比当前值小，\([1,r]\)中有\(sum_2\)个数比当前值小，那么\([l,r]\)中就有 \(sum_2-sum_1\)个值比当前值小
回到刚才的问题：

数组 \(\{1,7,6,2,3,5,4\}\)，求\([2,5](\{7,6,2,3\})\)这一段的第\(2\)小值（\(3\)）

我们挑出第\((2-1)\)次插入时的树和第\(5\)次插入时的树，经过观察——

你发现了什么？
举个栗子，我们看上一棵树中的代表\([5,7]\)的节点和下一棵树的对应节点，可以发现：它们的差就是\(\{7,6,2,3\}\)中在\([5,7]\)上的数的个数。那么，上一棵树中的代表\([1,4]\)的节点和下一棵树的对应节点之差为\(2\)，这说明第\(2\)小值必定在\([1,4]\)区间内，由此即可求出第\(2\)小值——\(3\)

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代码实现

\(L,R\) 表示左右子树，\(sum\) 就是图中所维护的维护\([1,n]\)中点的个数，\(rank\) 为离散化数组，\(root\) 表示这么多线段树的根。答案递归求解即可。( \(fm(x)\) 表示初始化 \(x\) )

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define f(x,y) for(register int i=x;i<=y;i++)
#define G ch=getchar()
#define rd int
#define in(x) x=read();
#define node int
#define mid ((l+r)>>1)
#define fm(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define maxN 200000
using namespace std;
inline rd read();
class president_tree
{
    public:
        node query(int x,int y,int w) {return rank[_query(root[x-1],root[y],1,_size,w)];}
        void build(int a[],int n)
        {
            tot=0; fm(rank); fm(root); fm(sum); fm(L); fm(R);
            for(register int i=1;i<=n;i++) rank[i]=a[i];
            sort(rank+1,rank+n+1);
            _size=unique(rank+1,rank+n+1)-rank-1;
            root[0]=_build(1,_size);
            for(register int i=1;i<=n;i++)
                root[i]=update(root[i-1],1,_size,lower_bound(rank+1,rank+_size+1,a[i])-rank);
        }
    private:
        int tot,_size;
        node rank[maxN+1],root[maxN+1],sum[(maxN<<5)+1],L[(maxN<<5)+1],R[(maxN<<5)+1];;
        node _build(int l,int r)
        {
            int k=++tot; sum[k]=0;
            if(l<r)
            {
                L[k]=_build(l,mid);
                R[k]=_build(mid+1,r);
            }
            return k;
        }
        node update(int pre,int l,int r,int w)
        {
            int k=++tot; L[k]=L[pre]; R[k]=R[pre]; sum[k]=sum[pre]+1;
            if(l<r)
                if(w<=mid) L[k]=update(L[pre],l,mid,w);
                else R[k]=update(R[pre],mid+1,r,w);
            return k;
        }
        node _query(int u,int v,int l,int r,int k)
        {
            if(l>=r) return l;
            int w=sum[L[v]]-sum[L[u]];
            if(w>=k) return _query(L[u],L[v],l,mid,k);
            else return _query(R[u],R[v],mid+1,r,k-w);
        }
};
int n,m,a[maxN+1],b[maxN+1],x,y,w;
president_tree tree;
int main()
{
    in(n); in(m); f(1,n) in(a[i]);
    tree.build(a,n);
    f(1,m)
    {
        in(x); in(y); in(w);
        printf("%d\n",tree.query(x,y,w));
    }
    return 0;
}
inline rd read()
{
    char ch=getchar();
    rd num=0,f=1;
    while((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') G;
    if(ch=='-') {f=-1; G;}
    while(ch>='0' && ch<='9') {num=num*10+ch-'0'; G;}
    return num*f;
}

写在最后

对主席树的认识与理解，到这篇博客的诞生，是起源于这两位巨佬的博客的——
最详细的讲解，让你一次学会主席树
【Notes】【主席树】hdu2665 Kth number
在此表示衷心的感谢！
（我才不会告诉你这篇博客写到一半未保存，网页就莫名其妙关闭了呢 QWQ）