乘法逆元

乘法逆元是一个困扰我很久的东西，一开始有点不太理解，实际上逆元有好多种做法，这里我就来讲下常用的吧

乘法逆元

1）表示方法

一般来说a的逆元表示为\(a^{-1}\)

这里困扰我许久，注意在逆元中\(a^{-1}\)并不是a的-1次方

2）定义

对于自然数a和其模m意义下的逆元\(a^{-1}\)

满足

\[a*a^{-1}\equiv1(mod\ m) \]

这里需要慢慢理解

3）用法

乘法逆元有很多用处，是数论题中的基础

快速幂（费马小定理）

这里的前置知识是费马小定理

1）定义

我们之所以可用快速幂来求逆元，因为伟大的费马发现了费马小定理

直接抛结论：

当正整数a，m且m是素数时

\(a^{-1}=a^{m-2}\)

2）证明

我们现在设正整数\(a,m\)且\(m\)是素数
根据费马小定理，我们就会有式子

\[a^{m-1}\equiv1(mod\ m) \]

又因为\(a^{m-1}=a*a^{m-2}\)

所以我们就会有式子

\[a*a^{m-2}\equiv 1(mod \ m) \]

所以得证

3)代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll n,p;

ll pow(ll x,ll k,ll mod){
	x%=mod;
	ll ret=1;
	while(k){
		if(k%2)ret=(ret*x)%mod;
		x=(x*x)%mod;
		k>>=1;
	}
	return ret;
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld\n",pow(i,p-2,p));
	}
	return 0;
}