博弈论
博弈论其实一直都不太会,最近看了看,想了想其实还好了。以前都是看到这种题都是爆搜,感觉现在就不会这么鲁莽了啊。博弈有三种我会一一来讲。
Bash(巴什博弈)
1)问题
HDU1846 Brave Game
Problem Description
十年前读大学的时候,中国每年都要从国外引进一些电影大片,其中有一部电影就叫《勇敢者的游戏》(英文名称:Zathura),一直到现在,我依然对于电影中的部分电脑特技印象深刻。
今天,大家选择上机考试,就是一种勇敢(brave)的选择;这个短学期,我们讲的是博弈(game)专题;所以,大家现在玩的也是“勇敢者的游戏”,这也是我命名这个题目的原因。
当然,除了“勇敢”,我还希望看到“诚信”,无论考试成绩如何,希望看到的都是一个真实的结果,我也相信大家一定能做到的~
各位勇敢者要玩的第一个游戏是什么呢?很简单,它是这样定义的:
1、 本游戏是一个二人游戏;
2、 有一堆石子一共有n个;
3、 两人轮流进行;
4、 每走一步可以取走1…m个石子;
5、 最先取光石子的一方为胜;
如果游戏的双方使用的都是最优策略,请输出哪个人能赢。
Input
输入数据首先包含一个正整数\(C(C<=100)\),表示有C组测试数据。
每组测试数据占一行,包含两个整数\(n\)和\(m(1<=n,m<=1000)\),n和m的含义见题目描述。
Output
如果先走的人能赢,请输出“first”,否则请输出“second”,每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
23 2
4 3
Sample Output
first
second
2)思路&结论
显然这个东西爆搜情况太多了会T啊,所以我们就要像有没有\(O(1)\)的算法,当然是有的啊。
我们可以yy出结论:若\(n\%(m+1)=0\)后手赢,否则先手赢
3)证明&推导
设k,x是满足\((m+1)k+x=n\)的非负整数,且\(x<m+1\)
这里的意思就是我们设每轮两人加起来取\(m+1\)个,取\(k\)轮,又因为剩下的\(x<m+1\),所以当没有剩下,也就是\(x=0\)时,先手必败,否则先手必胜
我们再来看回这个式子
我们想因为\(x<m+1\),所以
所以这道题关键就在于\(n\%(m+1)\)的取值
4)代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int T;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
if((n%(k+1)))puts("first");
else puts("second");
}
}