高斯消元
高斯消元其实就是一个极其靠意识的东西
我们都学过加减消元,在二元时这里其实是极其容易的,但是拓展到多元,我们就需要一种通解
这个东西我在数学课上都听过,我们在考试时也经常用,现在我们用计算机来做其实就更加简单了
以前我们往往是对于一个元两个不同的系数的两个式子,我们往往讲这个元的系数变为原来两个数的系数的最小公倍数,举个例子
\[\left\{
\begin{array}{rcl}
5a_1-2a_2=b_1\\
2a_1+3a_2=b_2\\
\end{array} \right. \]
我们一般会化成
\[\left\{
\begin{array}{rcl}
10a_1-4a_2=2b_1\\
10a_1+15a_2=5b_2\\
\end{array} \right. \]
当然我们可以用一般形式来表达一下,我们令
\[k*x_i*a_i=y_i*a_i
\]
显然
\[k=\frac{y_i}{x_i}
\]
这样我们将一个式子全部都乘上\(k\),我们就可以将\(a_i\)的系数化成一样的,然后再相减我们就可以消元了
这就是代码,注意在我们判断它的系数极小时将其判定为无解
for(int i=1;i<=n;i++){
if(fabs(a[i][i])<1e-7){
puts("No Solution");
exit(0);
}
const double div=a[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;
for(int j=i+1;j<=n;j++){
const double x=a[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
a[j][k]-=a[i][k]*x;
}
}
现在我们消完元,我们就可以往回代了,我们已经解出的未知数的值。
其实这里又是一波意识流
代码
ans[n]=a[n][n+1];
for(int i=n-1;i;i--){
ans[i]=a[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++){
ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
}
}
这里我们就完成了消元
luoguP3389 【模板】高斯消元法
完整代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
long double ans[101],a[101][101];
void gauss(){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(fabs(a[i][i])<1e-7){
puts("No Solution");
exit(0);
}
const double div=a[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)a[i][j]/=div;
for(int j=i+1;j<=n;j++){
const double x=a[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
a[j][k]-=a[i][k]*x;
}
}
ans[n]=a[n][n+1];
for(int i=n-1;i;i--){
ans[i]=a[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++){
ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n+1;j++){
double x;
scanf("%lf",&x);a[i][j]=x;
}
}
gauss();
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%.2lf\n",(double)ans[i]);
}
return 0;
}