BZOJ3991 寻宝游戏 LCA 虚树 SET

5.26 T1:寻宝游戏

Description

小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。小B希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

Input

第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。

接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。

接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

Output

M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

Sample Input

4 5
1 2 30
2 3 50
2 4 60
2
3
4
2
1

Sample Output

0
100
220
220
280

HINT

1<=N<=100000

1<=M<=100000

对于全部的数据，1<=z<=10^9

solution

其实这题是一个比较坑爹的题，可以用虚树做，也可以用set+lca做

这里讲下set+lca的做法

首先我们可以将各个点的dfn值在set中删除，用dfn是因为set中的元素都是有序的，这样方便查找，当然也可以手写rank_tree（splay，treap等），这样效率或许更高。

插入操作：我们可以将一点x插入到set中，将上一次的答案加上x点到其前驱以及后继点的路径长，再减去该两点之间的路径长。

\[insert_{ans}(x)=ans_{last}-dis(before,after)+dis(x,before)+dis(x,after) \]

删除操作：我们可以将上一次答案加上待删除的点x的前驱和后继之间的路径长，再减去分别到前驱后后继的路径。

\[erase_{ans}(x)=ans_{last}+dis(before,after)-dis(x,before)-dis(x,after) \]

其中dis为

\[dis(x,y)=dis\bigr(LCA(x,y),x\bigl)+dis\bigr(LCA(x,y),y\bigl) \]

期间我们可以用树剖求lca，并在树剖的第一个dfs里初始化好各个点到根的距离。

虚树做法

易知，答案就是各个关键点之间形成的树的边权和的两倍，这就是虚树！对于一颗虚树，答案就是各个的dfs序排序，相邻两点的距离和，再加上最后一个到第一个的距离,直接用set维护dfs序就好了，注意最后要减掉所有关键点的LCA的深度

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
 
const int N=1000001;
int n,q,tot,root,maxn,dftim,tim[N],fa[N],to[N<<1],nx[N<<1],head[N<<1],dep[N],siz[N],son[N],top[N],dfn[N],dfnnode[N+5];
long long cost[N<<1],ans,toroot[N];
bool flag[N];
set<int> s;
 
void addedge(int x,int y,long long z){
    nxt[++tot]=head[x]; 
    head[x]=tot;
    to[tot]=y;
    cost[tot]=z;
}
  
void dfs1(int u,int f) {
	dfn[u]=++dftim;
	dfnnode[dfn[u]]=u;
	dep[u]=dep[fa[u]=f]+(siz[u]=1);
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {
    	int v=to[i];
    	if(v==f)continue;
    	toroot[to[i]]=toroot[u]+cost[i];
    	dfs1(v,u);
    	siz[u]+=siz[v];
    	if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
}

void dfs2(int u,int topf){
    top[u]=topf;
    if(!son[u])return;
    dfs2(son[u],topf);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fa[u] or v==son[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
 
int lca(int x,int y) {
    register int u=x,v=y;
    while(top[u]!=top[v]) {
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    return dep[u]<=dep[v]?u:v;
}
 
long long get(int x,int y){
    int z=lca(x,y);
    return toroot[x]+toroot[y]-2*toroot[z];
}
 
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1; i<n; ++i) {
        int u,v;
        long long w;
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w),addedge(v,u,w);
        tim[u]++,tim[v]++;
        if(tim[u]>maxn)root=u,maxn=tim[u];
        if(tim[v]>maxn)root=v,maxn=tim[v];
    }
    dfs1(root,0);
    dfs2(root,root);    
	s.insert(0),s.insert(n+1);
	while(q--){
    	int x;scanf("%d",&x);
    	if(flag[x]){
    	    int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);
        	if(las>=1)ans-=get(dfnnode[las],x);
        	if(nxt<=n)ans-=get(dfnnode[nxt],x);
        	if(las>=1 and nxt<=n)ans+=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);
        	s.erase(dfn[x]);
    	}else{
        	s.insert(dfn[x]);
        	int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);
        	if(las>=1)ans+=get(dfnnode[las],x);
        	if(nxt<=n)ans+=get(dfnnode[nxt],x);
        	if(las>=1 and nxt<=n)ans-=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);
        }
	    int first=*++s.find(0),last=*--s.find(n+1);long long hehe=0;
    	if (first<1 or last>n) hehe=0;
    	else hehe=get(dfnnode[first],dfnnode[last]);
    	printf("%lld\n",ans+hehe);
    	flag[x]=!flag[x];
	}
	return 0;
}