多项式的各种操作

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多项式的表示方式

1.系数表示法

最常用的其实就是这个了，数学书告诉我们多项式是多个单项式的和，例如，

\[x^3+16x^2+2 \]

就是一个多项式。我们可以将一个多项式表示为

\[kx^n \]

其中k为系数，n为次数

所以我们就可以把一个次数界为n的多项式用一个n维向量\(a=(a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_n-1)\)表示成这样

\[f(x)=\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i \]

1)运算

加法：

这个就比较显然了

\[f(x)=A(x)+B(x)=\sum^{n-1}_{i=0}(a_i+b_i)x^i \]

时间复杂度\(O(n)\)

乘法：

这里要稍微理解一下

\[f(x)=A(x)B(x)=\sum_{i=0}^{n^2}(\sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j})x^i \]

时间复杂度\(O(n^2)\)

2.点值表示法

我们可以把一个次数界为n的多项式\(f(x)\)表示成这样一个集合\(F\)

\[F=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1})\} \]

我们可以这样理解\(x_i\)和\(y_i\)之间的关系

\[y_i=f(x_i) \]

也就是说第i个y值就是第i个x代入多项式\(f(x)\)后的值

例如，多项式\(f(x)=x^2+x+1\)就可以表示成这样

\[\{(1,3),(2,7),(-1,1)\} \]

我们将\(x_1=1,x_2=2,x_3=-1\)代入,会发现

\[f(1)=3 \\f(2)=7 \\f(-1)=1 \]

1）为什么可以这样表示

首先我们要知道为什么一个点值表达式可以确定一个唯一的多项式。我们这里就可以引入一个比较神奇的东西拉格朗日插值公式，用它我们可以将多项式\(f(x)\)表示成这样

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}y_i\prod_{j=0,j\ne i}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

拉格朗日公式是当给定n个点\((x_i,y_i)\)，求一个\(n-1\)次多项式（函数）\(f(x)\)时用的，显然它的时间复杂度是\(O(n^2)\)。由此我们会发现对于一个点值表达式，可以确定一个唯一的多项式。但是对于一个多项式是不确定一个唯一的点值表达式，因为在这个函数任取n个点都是这个函数的点值表达式。

MYHdalao在上FFT时的一句话使我记忆深刻：n个点可以确定一个n次多项式（函数）

其实我们可以更加直（gan）观（xing）地来理解一下这句话。学一次函数时我们有两点式，学二次函数时我们有三点式，可以很容易找出这其中的规律

2）运算

先定义（下面要用）

多项式\(A(x)=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1})\}\)

多项式\(B(x)=\{(x_0,y'_0),(x_1,y'_1),(x_2,y'_2),\cdots,(x_{n-1},y'_{n-1})\}\)

观察上面\(A(x)\)和\(B(x)\)的点值表达式，它们的\(n\)个\(x_i\)的取值都是一样的，而\(y_i\)和\(y'_i\)的取值就是代入两个多项式后的不同的取值

加法：

点值表达式的加法还是十分好理解的啊

\[f(x)=A(x)+B(x)=\{(x_0,y_0+y'_0),(x_1,y_1+y'_1),(x_2,y_2+y'_2),\cdots,(x_{n-1},y_{n-1}+y'_{n-1})\} \]

乘法：

点值表达式的乘法对于FFT是极其重要的

多项式求导

1.前置

1）可加性？（求导法则）

若\(f(x)=x^2+x\)且\(g(x)=x^2,h(x)=x\)，则

\[f'(x)=g'(x)+h'(x) \]

2）常数可分离（求导法则）

首先我们知道常数的导数是0
若\(f(x)=cx\)且\(g(x)=x\)，则

\[f'(x)=cg'(x) \]

3) 二项式定理

\((x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}x^iy^{n-i}\)

实际上这个东西就是我们小学时候学的杨辉三角

4）幂函数求导

这是比较基本的东西啊
我们令\(f(x)=cx^n,g(x)=x^n\)，所以

\[\begin{align*}f'(x)&=cg'(x)\\&=c\lim\limits_{\mathrm{d}x\to 0}\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}\\&=c\lim\limits_{\mathrm{d}x\to 0}\frac{(x+dx)^n-x^n}{dx}\\&=c\lim\limits_{\mathrm{d}x\to 0}\frac{\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}x^idx^{n-i}-x^n}{dx}\\&=c\lim\limits_{\mathrm{d}x\to 0}\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{n \choose i}x^idx^{n-i}}{dx}\\&=c\lim\limits_{\mathrm{d}x\to 0}\sum_{i=0}^{n-1}{n \choose i}x^idx^{n-i-1}\\&=cnx^{n- 1}\end{align*} \]

2.推导

首先我们定义一个多项式

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \]

所以我们就会有

\[\begin{align*} f'(x)&=\sum_{i=0}^{n}(a_ix^i)' \\&=\sum_{i=0}^{n}a_i(x^i)' \\&=\sum_{i=0}^{n}a_iix^{i-1} \end{align*} \]

这样这个推导就完成了