2017.8.1 Noip2018模拟测试赛（十七）
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日期： |
八月第一天 |
总分： |
300分 |
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难度： |
提高 ~ 省选 |
得分： |
100分（不应该啊！） |
题目目录：
T1：战争调度
T2：选数
T3：由乃的OJ
赛后心得：
MMP，首先第一题花了大概一半的时间，碰巧想到了正解。
好吧，作为数学渣的我看到T2肯定是懵的啦！T3又那么难，导致我后半场比赛都在发呆……
看来我要恶补数学了！！……
题解：
T1：战争调度
树形dp，暴力枚举每个点的染色情况，发$f[i][j]$表示$i$的子树中，有$j$个黑点，所产生的最大贡献。
时间复杂度 $O(2^{2n+1})$
CODE：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 6 int n,m,ans=0,f[2005][2005],v[2005][2005][2]; 7 bool p[20]; 8 9 void dfs(int x,int d){ 10 memset(f[x],0,sizeof(f[x])); 11 if(d==1){ 12 for(int j=1;j<=n-1;j++){ 13 if(p[j+1])f[x][1]+=v[x][j][1]; 14 else f[x][0]+=v[x][j][0]; 15 } 16 return; 17 } 18 p[d]=true,dfs(x<<1,d-1),dfs(x<<1|1,d-1); 19 for(int i=0;i<(1<<d-1);i++){ 20 for(int j=0;j<(1<<d-1);j++) 21 f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]); 22 } 23 p[d]=false,dfs(x<<1,d-1),dfs(x<<1|1,d-1); 24 for(int i=0;i<(1<<d-1);i++){ 25 for(int j=0;j<(1<<d-1);j++) 26 f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]); 27 } 28 } 29 30 int main(){ 31 scanf("%d%d",&n,&m); 32 for(int i=(1<<n-1);i<(1<<n);i++){ 33 for(int j=1;j<=n-1;j++) 34 scanf("%d",v[i][j]+1); 35 } 36 for(int i=(1<<n-1);i<(1<<n);i++){ 37 for(int j=1;j<=n-1;j++) 38 scanf("%d",v[i][j]+0); 39 } 40 dfs(1,n); 41 for(int i=0;i<=m;i++)ans=max(ans,f[1][i]); 42 printf("%d",ans); 43 }
T2：选数
推公式应该不算太难，只不过这题要用杜教筛。
\begin{aligned}
ans&=\sum^H_{x_i=L}[gcd(x_i)=K]\\
&=\sum^h_{x_i=l}[gcd(x_i)=1] &(l=\lfloor\frac{L-1}{K}\rfloor,h=\lfloor\frac{H}{K}\rfloor)\\
&=\sum^h_{x_i=l}\sum_{d\mid gcd(x_i)}\mu(d)\\
&=\sum^h_{x_i=l}\sum_{d\mid x_i}\mu(d)\\
&=\sum^h_{d=1}\sum_{l<x_i h,d\mid x_i}\mu(d)\\
&=\sum^h_{d=1}(\lfloor\frac{h}{d}\rfloor-\lfloor\frac{l}{d}\rfloor)^n\mu(d)\\
\end{aligned}
CODE：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<map> 4 using namespace std; 5 6 #define mod 1000000007 7 int n,k,l,r,ans=0; 8 int mu1[2000005],pri[2000005],cnt=0; 9 bool vis[2000005]; 10 map<int,int> mu2; 11 12 int qpow(int x,int y){ 13 int ans=1; 14 while(y){ 15 if(y&1)ans=1LL*ans*x%mod; 16 y>>=1,x=1LL*x*x%mod; 17 } 18 return ans; 19 } 20 21 int init(){ 22 mu1[1]=1; 23 for(int i=2;i<=2000000;i++){ 24 if(!vis[i]){ 25 mu1[i]=-1; 26 pri[++cnt]=i; 27 } 28 for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=2000000;j++){ 29 vis[i*pri[j]]=true; 30 if(i%pri[j]==0){ 31 mu1[i*pri[j]]=0;break; 32 }else mu1[i*pri[j]]=-mu1[i]; 33 } 34 } 35 for(int i=1;i<=2000000;i++)mu1[i]+=mu1[i-1]; 36 } 37 38 int get_mu(int x){ 39 if(x<=2000000)return mu1[x]; 40 if(mu2.count(x))return mu2[x]; 41 long long ans=1; 42 for(int i=1,pos;i<=(x>>1);i=pos+1){ 43 pos=x/(x/i); 44 ans-=1LL*(get_mu(pos)-get_mu(i-1))*(x/i-1); 45 } 46 return mu2[x]=(ans+mod)%mod; 47 } 48 49 int main(){ 50 scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r); 51 init(); 52 l=(l-1)/k,r=r/k; 53 for(int i=1,pos;i<=r;i=pos+1){ 54 pos=min(r/(r/i),l/i?(l/(l/i)):(int)2e9); 55 ans=(ans+1LL*qpow(r/i-l/i,n)*(get_mu(pos)-get_mu(i-1)))%mod; 56 } 57 printf("%d",(ans+mod)%mod); 58 }
T3：由乃的OJ
强烈建议先做简化版——起床困难综合症；
核心：位运算每位独立，互不影响，不像加法、乘法会有进位！！
这个只不过变为了多组查询，树上操作。
用树剖啊！！线段树维护每一位正着和反着，每一位 1 与 0 的情况，压在一个 unsigned long long 里
会做那题，肯定能想到这题的正解，只不过很考验代码实现能力。
CODE：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define LL long long 6 #define lch (o<<1) 7 #define rch (o<<1|1) 8 int n,m,k,ot,x,y,tot=0,cnt=0,h[100005]; 9 int fa[100005],dep[100005],son[100005],opt[100005]; 10 int siz[100005],tp[100005],tid[100005],rak[100005]; 11 unsigned long long z,val[100005]; 12 struct Node{ 13 unsigned long long L0,L1,R0,R1; 14 }v[400005],ans1[100005],ans2[100005]; 15 struct Edge{ 16 int x,next; 17 }e[200005]; 18 19 void add_edge(int x,int y){ 20 e[++tot].x=y; 21 e[tot].next=h[x],h[x]=tot; 22 } 23 24 void dfs1(int x,int father,int deep){ 25 fa[x]=father,dep[x]=deep,siz[x]=1; 26 for(int i=h[x];i;i=e[i].next){ 27 if(e[i].x==father)continue; 28 dfs1(e[i].x,x,deep+1); 29 siz[x]+=siz[e[i].x]; 30 if(siz[e[i].x]>siz[son[x]])son[x]=e[i].x; 31 } 32 } 33 34 void dfs2(int x,int top){ 35 tp[x]=top,tid[x]=++cnt,rak[cnt]=x; 36 if(son[x])dfs2(son[x],top); 37 for(int i=h[x];i;i=e[i].next){ 38 if(e[i].x==fa[x]||e[i].x==son[x])continue; 39 dfs2(e[i].x,e[i].x); 40 } 41 } 42 43 unsigned LL opr(unsigned LL x,int opt,unsigned LL y){ 44 if(opt==1)return x&y; 45 if(opt==2)return x|y; 46 if(opt==3)return x^y; 47 } 48 49 Node merge(Node l,Node r){ 50 Node o; 51 o.L0=o.L1=o.R0=o.R1=0; 52 o.L0=(l.L0&r.L1)|((~l.L0)&r.L0); 53 o.L1=(l.L1&r.L1)|((~l.L1)&r.L0); 54 o.R0=(r.R0&l.R1)|((~r.R0)&l.R0); 55 o.R1=(r.R1&l.R1)|((~r.R1)&l.R0); 56 return o; 57 } 58 59 void build(int o,int l,int r){ 60 if(r==l){ 61 v[o].L0=v[o].R0=opr(0,opt[rak[l]],val[rak[l]]); 62 v[o].L1=v[o].R1=opr(-1,opt[rak[l]],val[rak[l]]); 63 }else{ 64 int mid=l+r>>1; 65 build(lch,l,mid),build(rch,mid+1,r); 66 v[o]=merge(v[lch],v[rch]); 67 } 68 } 69 70 void update(int o,int l,int r,int x){ 71 if(r==l){ 72 v[o].L0=v[o].R0=opr(0,opt[rak[l]],val[rak[l]]); 73 v[o].L1=v[o].R1=opr(-1,opt[rak[l]],val[rak[l]]); 74 }else{ 75 int mid=l+r>>1; 76 if(x<=mid)update(lch,l,mid,x); 77 else update(rch,mid+1,r,x); 78 v[o]=merge(v[lch],v[rch]); 79 } 80 } 81 82 Node query(int o,int l,int r,int x,int y){ 83 if(l>=x&&r<=y)return v[o]; 84 else{ 85 int mid=l+r>>1,pd=false; 86 Node ans; 87 if(x<=mid)ans=query(lch,l,mid,x,y),pd=true; 88 if(y>mid){ 89 if(pd)ans=merge(ans,query(rch,mid+1,r,x,y)); 90 else ans=query(rch,mid+1,r,x,y); 91 } 92 return ans; 93 } 94 } 95 96 Node solve(int x,int y){ 97 int cnt1=0,cnt2=0; 98 while(tp[x]!=tp[y]){ 99 if(dep[tp[x]]>dep[tp[y]]){ 100 ans1[++cnt1]=query(1,1,n,tid[tp[x]],tid[x]); 101 x=fa[tp[x]]; 102 } 103 else{ 104 ans2[++cnt2]=query(1,1,n,tid[tp[y]],tid[y]); 105 y=fa[tp[y]]; 106 } 107 } 108 if(dep[x]<dep[y]) 109 ans2[++cnt2]=query(1,1,n,tid[x],tid[y]); 110 else 111 ans1[++cnt1]=query(1,1,n,tid[y],tid[x]); 112 for(int i=1;i<=cnt1;i++) 113 swap(ans1[i].L0,ans1[i].R0),swap(ans1[i].L1,ans1[i].R1); 114 Node sum; 115 if(cnt1)sum=ans1[1]; 116 else sum=ans2[cnt2]; 117 for(int i=2;i<=cnt1;i++)sum=merge(sum,ans1[i]); 118 if(cnt1&&cnt2)sum=merge(sum,ans2[cnt2]); 119 for(int i=cnt2-1;i>=1;i--)sum=merge(sum,ans2[i]); 120 return sum; 121 } 122 123 int main(){ 124 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 125 for(int i=1;i<=n;i++) 126 scanf("%d%llu",opt+i,val+i); 127 for(int i=1;i<n;i++){ 128 scanf("%d%d",&x,&y); 129 add_edge(x,y); 130 add_edge(y,x); 131 } 132 dfs1(1,-1,0),dfs2(1,1); 133 build(1,1,n); 134 for(int i=1;i<=m;i++){ 135 scanf("%d%d%d%llu",&ot,&x,&y,&z); 136 if(ot==1){ 137 Node a=solve(x,y); 138 unsigned LL ans=0; 139 for(int j=63;j>=0;j--){ 140 if(a.L0&(1ULL<<j))ans+=1ULL<<j; 141 else if(a.L1&(1ULL<<j)&&(1ULL<<j)<=z) 142 ans+=1ULL<<j,z-=1ULL<<j; 143 } 144 printf("%llu\n",ans); 145 } 146 if(ot==2){ 147 opt[x]=y,val[x]=z; 148 update(1,1,n,tid[x]); 149 } 150 } 151 }
可怕！！
