莫比乌斯反演

莫比乌斯反演——神奇、玄学、哲学……

DEEP ♂ DARK ♂ FANTASY

回到正题，首先什么是反演？？！！

设 $ F(n) = \sum^n_{x=1} f(x) $

我们定义了一个关于 f(x) 的函数，很容易通过 f(x) 得到 F(x)。

而通过 F(x) 求 f(x) 的过程就是反演。

莫比乌斯反演公式

F(n) 和 f(n) 满足条件$ F(n) = \sum\limits_{d\mid n}f(d) $，那么

$$ f(n) = \sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) $$
这条式子还有另一种描述

F(n) 和 f(n) 满足条件$ F(n) = \sum\limits_{n\mid d}f(d) $，那么

$$ f(n)=\sum\limits_{n\mid d}\mu(\frac{d}{n})F(d) $$

莫比乌斯函数 $ \mu(x) $

1. 若$ d=1 $，那么$\mu(d)=1$
2. 若$ d=\prod\limits_{i=1}^{k}p_i $，且$p_i$均为互异素数，那么$ \mu(d) =(-1)^k $
3. 其他情况（$d$有平方因子）$ \mu(d)=0 $

$\mu$的常见性质

对于任意正整数n满足
$$ \sum\limits_{d\mid n}\mu(d) = [n=1] $$

和
$$ \sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n} $$

反演公式证明：

有了上面两条我不会证的性质之后，我们就可以证一下莫比乌斯反演了。
由F(x)函数的定义可以得到：
$$ \sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum\limits_{d'\mid \frac{n}{d}}f(d') $$

接下来我们让$ \frac{n}{d} $=$ kd' $，那么$ d=\frac{n}{kd'} $,所以就有$ d\mid \frac{n}{d'} $，而每个$ f(d') $一定会和一个$ \mu(d) $乘一次，所以：
$$ \sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum\limits_{d'\mid \frac{n}{d}}f(d')=\sum\limits_{d'\mid n}f(d')\sum\limits_{d\mid \frac{n}{d'}}\mu(d) $$

再看上面的两条性质里的性质2，明白了吧OvO！
$$ \sum\limits_{d'\mid n}f(d')\sum\limits_{d\mid \frac{n}{d'}}\mu(d)=f(n) $$

得证！

应用:

各种换元然后优化式子

大概就是上面四条式子（性质两条+反演两条）+各种玄学换来换去，最后好像化成了一个带有$ g(T) = \sum\limits_{d\mid T}f(d)\mu(\frac{T}{d}) $ 的式子，然后就想办法把$ g(x) $筛出来

最后的求解基本上是要用到一个（类似）分块的方法用前缀和在根号的时间内把式子里面的其他一些奇奇怪怪的部分求出来