【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 && 【bzoj4894】天赋 （矩阵树定理）

来两道矩阵树模板：

T1：【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

题解：

　　这是一道典型的矩阵树裸题……

　　不过，这取模 10^9 不是质数，不能普通的高斯消元，要使用辗转相除法。

int f=1;
for(int i=1;i<cnt;i++){
    for(int j=i+1;j<=cnt;j++){
        while(a[j][i]){
            int t=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=cnt;k++)
                a[j][k]=(a[j][k]-1LL*a[i][k]*t%mod+mod)%mod;
            if(a[j][i]==0)break;
            for(int k=i;k<=cnt;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
            f=-f;
        }
    }
}

　　这里涉及到交换，貌似统计答案要变为相反数……

COMPLETE CODE：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define mod 1000000000
int n,m,cnt,ans=1,a[100][100],id[10][10];
char s[10];

int qpow(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=1LL*ans*x%mod;
        y>>=1,x=1LL*x*x%mod;
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(s[j]=='*')continue;
            id[i][j]=++cnt;
            if(id[i-1][j]){
                a[id[i-1][j]][id[i][j]]--;
                a[id[i][j]][id[i-1][j]]--;
                a[id[i][j]][id[i][j]]++;
                a[id[i-1][j]][id[i-1][j]]++;
            }if(id[i][j-1]){
                a[id[i][j-1]][id[i][j]]--;
                a[id[i][j]][id[i][j-1]]--;
                a[id[i][j]][id[i][j]]++;
                a[id[i][j-1]][id[i][j-1]]++;
            }
        }
    }
    cnt--;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            if(a[i][j]<0)a[i][j]+=mod;
    int f=1;
    for(int i=1;i<cnt;i++){
        for(int j=i+1;j<=cnt;j++){
            while(a[j][i]){
                int t=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i;k<=cnt;k++)
                    a[j][k]=(a[j][k]-1LL*a[i][k]*t%mod+mod)%mod;
                if(a[j][i]==0)break;
                for(int k=i;k<=cnt;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
                f=-f;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        ans=1LL*ans*a[i][i]%mod;
    printf("%d",~f?ans:(mod-ans)%mod);
}

T2：【bzoj4894】天赋

Description

小明有许多潜在的天赋，他希望学习这些天赋来变得更强。正如许多游戏中一样，小明也有n种潜在的天赋，但有一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的。也就是说，有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才能学习的。比如，要想学会"开炮"，必须先学会"开枪"。一项天赋可能有多个前置天赋，但只需习得其中一个就可以学习这一项天赋。上帝不想为难小明，于是小明天生就已经习得了1号天赋-----"打架"。于是小明想知道学习完这n种天赋的方案数，答案对1,000,000,007取模。（两种方案不同指的是存在某种天赋的前置天赋不同）

Input

第一行一个整数n。
接下来是一个n*n的01矩阵，第i行第j列为1表示习得天赋j的一个前置天赋为i。
数据保证第一列和主对角线全为0。
n<=300

Output

第一行一个整数，问题所求的方案数。

题解：

　　这是一道有向图生成树计数的裸题……

　　没什么好说的。

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define mod 1000000007
char s[305];
int n,a[305][305],ans=1;

int qpow(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=1LL*ans*x%mod;
        y>>=1,x=1LL*x*x%mod;
    }
    return ans;
}

void Gauss(){
    for(int i=2;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(a[j][i]==0)continue;
            if(a[i][i]==0){
                putchar('0');
                exit(0);
            }
            int tmp=1ll*a[j][i]*qpow(a[i][i],mod-2)%mod;
            for(int k=i;k<=n;k++)
                a[j][k]=(a[j][k]-1ll*a[i][k]*tmp%mod+mod)%mod;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(s[j]=='1')a[j][i]=-1,a[j][j]++;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<=n;j++)
            if(a[i][j]<0)a[i][j]+=mod;
    Gauss();
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans=1LL*ans*a[i][i]%mod;
    printf("%d",ans);
}