关于各种优化

发现有时候还是会对各种优化比较混乱。

决策单调性

对于 \(i\) 来说，其决策点为 \(j\)，那么对于 \(i'\ge i\) ，其决策点 \(j'\ge j\) 。
不存在依赖的可以直接分治，否则需要使用单调栈。

决策点的单调性

对于 \(i\) 来说，对于决策点 \(j\) 和 \(j'\) ，如果存在 \(j\le j'\) ，那么点 \(j\) 一定不劣于 \(j'\) ，反之亦然。
可以使用二分解决。

双指针

同时存在决策单调性与决策点的单调性。
可以直接用两个指针 \(l,r\) 来维护。

函数图像

有时候dp函数或转移函数可能存在某种规律。
如单峰函数，幂函数等，又或者函数存在单调性。

单调栈/单调队列

如果存在 \(i<j\) 使得点 \(j\) 比点 \(i\) 更优，那么点 \(i\) 就一定不会被选择。
如果对于决策点存在某些要求的话，则可以使用单调队列。

cdq分治

如果问题的形式是点 \(i\) 对点 \(j\) 有一个贡献，要求强制在线求每个点的值。
可以使用cdq分治去除强制在线的要求。
当然广义上的分治要更加复杂。

斜率优化

斜率优化有多种情况，不过一般来说是优化 \(dp_i=dp_j+a_i\times b_j+c_i+d_j\) 。也即转移中存在一些项同时与 \(i,j\) 有关。
显然可以先将与 \(i\) 有关的项提出来，与 \(j\) 有关的项全部合并。那么现在剩下的就是 \(a_i\times b_j+c_j\) 。
一般有两种做法，一种是将 \(-a_i\) 视为斜率，那么就相当于有许多点 \((b_j,c_j)\) ，希望找一个点使得截距最大/小。
还可以将 \(b_j\) 视为斜率，那么就相当于有许多线 \(y=b_jx+c_j\)，求对于 \(x=a_i\) 的最大的 \(y\) 。
显然对于两种，我们都可以维护上/下凸壳。转移的点事实上以斜率形成了单调栈/队列。
因此，对于查询和修改值一样的，可以直接在单调栈/队列上做。否则可以在凸壳上二分。
对于修改位置不是单调的，就只能维护动态凸壳了。
当然使用李超线段树也是一种选择。

数据结构优化

显然如果存在某些性质则可以用数据结构优化。
需要注意的是分块可以做到优秀的复杂度。

根号分治

将大小小于根号与大于根号的分开讨论。
一般用于给定 \(n\) 个元素，总大小有限制的。