Namori[agc-004F]

Description

​ 现在给你一张\(N\)个点\(M\)条边的连通图，我们保证\(N−1\leqslant M \leqslant N\)，且无重边和自环。

​ 每一个点都有一种颜色，非黑即白。初始时，所有点都是白色的。

​ “全”想通过执行若干次某种操作的方式，来将所有的点变成黑色。操作方式如下：

​ 选择一对颜色相同的相邻的节点（存在边直接连接彼此），将它们的颜色反转。即若原来都是白色，则都变成黑色，反之亦然。

​ 现在“全”想知道，他能否通过执行这种操作以达到目的。如果可以，他还希望步数尽可能的少。

Hint

\[2 \leqslant N\leqslant 10^5, N−1\leqslant M \leqslant N \]

Solution

​ 发现\(N−1\leqslant M \leqslant N\)所以原图要么是一棵树要么是一颗环套树（只有一个环）。

树的做法

​ 我们考虑转换模型，注意到树是一个二分图，所以我们将树分成奇数层和偶数层，奇数层有一个空位，而偶数层有一个棋子，那么将边的颜色反转的过程可以看成将棋子进行移动。那么可以发现仅当空位数=硬币数时问题有解。

​ 然后，考虑最小步数，我们记硬币为-1，空位为1，\(S_i\)表示子树和，那么\(K=\sum_{i=1}^{n}{Si}\)，考虑意义\(S_i\)表示的是\(i\to u\)这条边的贡献，发现K为原问题答案的下界。

​ 又因为对于\(\forall u\in [1,n]\)我们可以将他的儿子钦定为“+儿子”和“-儿子”，每次把“+儿子”的硬币匹配“-儿子”的空位，即可，问题解决。

奇环

​ 断开奇环上的一条边\((u,v)\)得到一棵树，由于是奇环，所以u，v的奇偶性一致。所以\((u,v)\)这条边对应的操作就是，将两个同层的点，同时加上或者减去一定数量的硬币。那么我们就先计算出断开后的树，缺了多少个空位或者硬币，如果是奇数则无解，否则就平摊给u，v，然后类似树的做法，统计答案即可。

偶环

​ 断开偶环上的一条边\((u,v)\)得到一棵树，由于是偶环，所以u，v的奇偶性不一致。所以，\((u,v)\)这条边对应的操作是，从u将x个硬币移到v上。那么我们记u的系数为1，v的系数为-1，并将子树分类：

1、系数为1，子树中仅包含u

2、系数为-1，子树中仅包含v

3、系数为0，子树中不包含u，v或者同时包含u，v

那么，答案就是\(ans=\sum_{i=1}^{n}{|k_ix+S_i|}+|x|\)

这就变成了一个经典问题，取中位数即可。

Code

/**************************************************************
    Problem: 3175
    User: ez_hjw
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:61 ms
    Memory:10168 kb
****************************************************************/
 
 
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
 
inline int rd() {
  int x = 0; char ch = getchar();
  while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
  do{
    x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    ch = getchar();
  }while(ch >= '0' && ch <= '9');
  return x;
}
 
int n, m, cnt, h[maxn], sum = 0, flag, kx[maxn], val[maxn];
 
struct enode{
  int v, n;
  enode() {}
  enode(int _v, int _n):v(_v), n(_n) {}
}e[maxn << 1];
 
inline void addedge(int u, int v) { cnt ++; e[cnt] = enode(v,h[u]); h[u] = cnt; }
 
int dep[maxn], vis[maxn], Sx, Tx, st[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
  dep[u] = dep[fa] ^ 1;
  vis[u] = 1;
  for(int i = h[u];~ i;i = e[i].n) {
    int v = e[i].v;
    if(v == fa) continue;
    if(vis[v]) Sx = u, Tx = v, flag = (dep[u] == dep[v]);
    else dfs(v,u);
  }
}
 
void solve(int u, int fa) {
  for(int i = h[u];~ i;i = e[i].n) {
    int v = e[i].v;
    if(v == fa) continue;
    if((u == Sx && v == Tx) || (u == Tx && v == Sx)) continue;
    solve(v,u);
    val[u] += val[v];
    kx[u] += kx[v];
    }
}
 
int main() {
  n = rd(); m = rd();
  cnt = 0;
  memset(h,-1,sizeof(h));
  for(int i = 1;i <= m;i ++) {
    int u, v;
    u = rd(); v = rd();
    addedge(u,v);
    addedge(v,u);
  }
  flag = 0;
  dep[0] = 0;
  dfs(1,0);
  int ans = 0;
  for(int i = 1;i <= n;i ++) {
    if(dep[i]) val[i] = 1;
    else val[i] = -1;
    sum += val[i];
  }
  if(m == n - 1) {
    if(sum) {
      puts("-1");
      return 0;
      }
  }
  else {
    if(flag) {
      if(sum & 1) {
        puts("-1");
        return 0;
        }
        val[Sx] -= sum / 2;
        val[Tx] -= sum / 2;
        ans += abs(sum) / 2;
      }
      else {
        if(sum) {
          puts("-1");
          return 0;
        }
        kx[Sx] = 1;
        kx[Tx] = -1;
    }
  }
  solve(1,0);
  int top;
  st[top = 1] = 0;
  for(int i = 1;i <= n;i ++) {
    if(!kx[i]) ans += abs(val[i]);
    else st[++ top] = - val[i];
    }
    sort(st + 1,st + top + 1);
    int k = st[(top + 1) >> 1];
    for(int i = 1;i <= top;i ++) {
      ans += abs(st[i] - k);
    }
    printf("%d\n", ans);
  return 0;
}

居然上榜了