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题面 线图 题解 大力分类讨论题。 显然，$L(L(T))$ 中的点代表着 $T$ 上的一条三点链。 所以 $L(L(T))$ 上两点的最短路显然是沿着 $T$ 上两条三点链间的唯一路径走。 然后就可以大力分类讨论了。 有很多种情况，这里举一种情况吧： 如图，我现在想从红线框起来的三点链走到蓝线框起 阅读全文
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题面 数数 题解 ~~tm怎么天天数数（~~ 考虑一个点数为 $n$ 的有向完全图：对于边 $i\to j$ 来说，若 $i<j$ 则边权为 $x$，否则边权为 $1$。 显然答案就是这张图中以 $r$ 为根的且边权乘积为 $x^m$ 的内向树个数。 考虑矩阵树定理。 先推出基尔霍夫矩阵 $K$： 阅读全文
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题面 分数 题解 手推一下发现最优策略是：（不会证） 若 $x<0$，则不断 $x\gets x+1$ 直到 $x\geq 0$ 为止。 若 $x>0$，则 $x\gets -\dfrac{1}{x}$。 若 $x=0$，终止。 也就是说，设开始时 $x=\dfrac{a}{b}<0$（若 $x>0 阅读全文
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题面 数学作业 题解 看到 $m$ 很大，联想到矩阵快速幂。 由于对于每个初始的 $x$，它变成 $1$ 的方法是唯一的。所以我们可以考虑从 $1$ 倒推，这样用不同的方法倒推得到的数肯定是不同的，所以不会算重。 为了方便，我们从 $0$ 而不是 $1$ 开始倒推，此时原来倒推 $m$ 步就变成了倒 阅读全文
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题面 XOR 题解 以下对于一个数 $x$，用 $x_i$ 表示 $x$ 在二进制下的第 $i$ 位。如果这个数本身就带下标，如 $a_k$，那么用 $a_{k,i}$ 表示 $a_k$ 在二进制下的第 $i$ 位。 发现带上绝对值很难搞，考虑如何确定绝对值的符号： 对于 $|a-b|$ 来说，我们 阅读全文
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题面 迷宫 题解 不妨把只由左向边形成的图称为 “左图”，那么 “右图” 的定义同理。 如果只从图论的角度推，还是能推出来很多东西的。 比如： 当 $X=Y=Z=0$ 时，右图能任意连，而左图只能是一些环。 否则，左图和右图都只能是环。 但你发现接下来很难做。 所以考虑用数学表示图论，这样就有更多性 阅读全文
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题面 数数题 题解 ~~让多项式完全入门、求导积分0基础的来做这个？？?~~ 赶紧看来一波高中选修2-2，才来硬推这道题。 所以说有一些对于巨佬们来说很简单就能推出来的东西，我可能反而会用一些更加复杂的方法。 题目可以看成是对于所有的 $k$ 求出： $$ \lim_{\Delta x\righta 阅读全文
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题面 字符串题 题解 设所有长度不超过 $n$ 的串的集合为 $S$。 考虑找到一种方法，能够对一个 lyndon 串 $A$ ，直接求出 $A$ 的下一个 lyndon 串。方法如下： 先将 $A$ 不断复制， 取出前 $n$ 位作为新的 $A$ ，即 $A\leftarrow AAA⋯$ 的前 阅读全文
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题面 直线 题解 注意到题目没有给什么特殊的性质，除了直线随机生成。 所以考虑随机化算法或均摊算法。 有一种很神奇的分块做法： 考虑将整个平面分成 $B\times B$ 块，每块大小 $\dfrac{10^9}{B}\times\dfrac{10^9}{B}$，而且每一个块记录一下有哪些直线经过它 阅读全文
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题面 切割 题解 考虑这么一个边都和坐标轴平行的不规则图形，经过水平或竖直切割后，如何判断切割后的图形是个矩形。 容易发现，如果切出来后的图形没有凹进去的点，它就是一个矩形。 那么假设一开始有 $ao$ 个凹点，那么你的目标就是让凹点的个数变为 $0$。 然后对于一种切法，如果它不经过凹点，我们肯定 阅读全文