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题面 简单的计数题 题解 首先题意可以转化为：给你一个长度为 $n$ 的序列 $c$，求将 $c$ 分成两个长度为 $\dfrac{n}{2}$ 的相同的子序列的方案数。 考虑 dp，设 $f(i,sta)$ 表示已经将 $c$ 的前 $i$ 位分成了两个子序列，其中长的子序列比短的子序列多出来的未 阅读全文
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题面 简单的博弈题 题解 对于贪心的对手的情况，田忌赛马即可。 对于随机的对手，发现使用任何策略都不影响结果。那我们只需要选一种自己数字的排列并固定下来，再去和对手的数字的 $m!$ 种全排列匹配即可。 暴力枚举全排列是不可接受的，考虑自己选一种特殊的数字排列固定，以优化计算。 考虑将自己的数字排序 阅读全文
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题面 取石子游戏 题解 我们把一个有 $n$ 个石子， Alice 每次能拿 $a$ 个， Bob 每次能拿 $b$ 个的堆称为状态 $(n,a,b)$。石子数太大的时候不利于分析，尝试简化一下： 可以证明状态 $(n,a,b)$ 的结果同 $(n\bmod (a+b),a,b)$ 状态的结果相同。 阅读全文
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题面 行列式 题解 马神说：这可能是本场比赛最简单的一道题。 黑人问号脸.jpg （这篇题解我很多地方写得很简略或很不严谨，所以如果有些地方看不懂请自己推一推） 考虑构造矩阵 $B=(x)_{n\times n}$，然后设矩阵 $C=A-B$。 那么矩阵 $C$ 满足 $C_{p_i,i}=b_i- 阅读全文
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题面 完美串 题解 考虑一个完美串 $s$ 应该满足什么性质。 若 $s$ 中 $0$ 和 $1$ 数量相同，那么显然是 $01$ 交错的。 否则不妨设 $1$ 比 $0$ 多，那么循环意义下一定有连续的 $11$，不然 $1$ 不可能比 $0$ 多。 又由于有连续的 $11$，那么就不能有连续的 阅读全文
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题面 平方问题 题解 记 $p=998244353$，那么 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$。（$\gcd(a,p)=1$） 那么 $a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$。 题目的操作相当于每次把一个数的指数乘上 $2$，那么每个数都能表示成 $a^{ 阅读全文
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题面 PQ 树 题解 注意到题目中提到了 “合法的 PQ 树都能表示出 $1,2,3,\cdots,n$ 这个排列"。那么如果我们把所有叶子节点按它们的数字按 $1\sim n$ 从左到右排，形成的 PQ 树是没有相交边的，也就是说不会出现这种情况： 你也可以理解成一棵子树一定存着的是一段连续的数字 阅读全文
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题面 二叉树 题解 设 $f_n$ 表示叶子数为 $n$ 的答案，容易得出以下式子： $$ \begin{aligned} &f_0=0,f_1=1\ &f_n=\sum_{i=1}^n c_if_if_{n-i} \end{aligned} $$ 其中 $c_{s_i}=v_i$，其余的 $c_i 阅读全文
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题面 简单的数据结构题 题解 直接考虑我们要计算的式子。为了方便，我们先设 $l=1,r=n$。 $$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^na_i^k\prod_{j\neq i}\frac{1-a_ia_j}{a_i-a_j}\ =&\sum_{i=1}^na_i^k \le 阅读全文
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题面 简单的几何题 题解 易知 $v\neq 0$，那么直接考虑条件： $$ \begin{aligned} \left(x_iu^2+x_i-uv-y_iv\right)b^2&\leq \left(x_ia^2+x_i-ab-y_ib\right)v^2\ \frac{x_iu^2+x_i-uv 阅读全文