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题面 决战圣诞树 题解 设 $a_i$ 表示最终满意指数为 $i$ 的方案数，我们考虑求出 $a_i$ 的生成函数。 那么树上每个点都要维护一个多项式，表示仅对于这个点的 $a_i$ 的生成函数。 那么题目就可以看成支持以下几个操作： 给定 $v,a$，将节点 $v$ 的多项式乘上 $(1+x^a) 阅读全文
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题面 作曲家 题解 这种序列相似的见过很多次，但一直不会做，今天终于知道一个套路了。 记 $s$ 与 $t$ 相似为 $s\sim t$。显然这个 “相似” 是有传递性的，即若 $a\sim c$ 且 $b\sim c$，那么 $a\sim b$。 前置知识/定义 概率相关的定义 定义 $\over 阅读全文
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题面 简单的计数题 题解 首先题意可以转化为：给你一个长度为 $n$ 的序列 $c$，求将 $c$ 分成两个长度为 $\dfrac{n}{2}$ 的相同的子序列的方案数。 考虑 dp，设 $f(i,sta)$ 表示已经将 $c$ 的前 $i$ 位分成了两个子序列，其中长的子序列比短的子序列多出来的未 阅读全文
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题面 简单的博弈题 题解 对于贪心的对手的情况，田忌赛马即可。 对于随机的对手，发现使用任何策略都不影响结果。那我们只需要选一种自己数字的排列并固定下来，再去和对手的数字的 $m!$ 种全排列匹配即可。 暴力枚举全排列是不可接受的，考虑自己选一种特殊的数字排列固定，以优化计算。 考虑将自己的数字排序 阅读全文
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题面 取石子游戏 题解 我们把一个有 $n$ 个石子， Alice 每次能拿 $a$ 个， Bob 每次能拿 $b$ 个的堆称为状态 $(n,a,b)$。石子数太大的时候不利于分析，尝试简化一下： 可以证明状态 $(n,a,b)$ 的结果同 $(n\bmod (a+b),a,b)$ 状态的结果相同。 阅读全文
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题面 行列式 题解 马神说：这可能是本场比赛最简单的一道题。 黑人问号脸.jpg （这篇题解我很多地方写得很简略或很不严谨，所以如果有些地方看不懂请自己推一推） 考虑构造矩阵 $B=(x)_{n\times n}$，然后设矩阵 $C=A-B$。 那么矩阵 $C$ 满足 $C_{p_i,i}=b_i- 阅读全文
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题面 完美串 题解 考虑一个完美串 $s$ 应该满足什么性质。 若 $s$ 中 $0$ 和 $1$ 数量相同，那么显然是 $01$ 交错的。 否则不妨设 $1$ 比 $0$ 多，那么循环意义下一定有连续的 $11$，不然 $1$ 不可能比 $0$ 多。 又由于有连续的 $11$，那么就不能有连续的 阅读全文
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题面 平方问题 题解 记 $p=998244353$，那么 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$。（$\gcd(a,p)=1$） 那么 $a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$。 题目的操作相当于每次把一个数的指数乘上 $2$，那么每个数都能表示成 $a^{ 阅读全文
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题面 PQ 树 题解 注意到题目中提到了 “合法的 PQ 树都能表示出 $1,2,3,\cdots,n$ 这个排列"。那么如果我们把所有叶子节点按它们的数字按 $1\sim n$ 从左到右排，形成的 PQ 树是没有相交边的，也就是说不会出现这种情况： 你也可以理解成一棵子树一定存着的是一段连续的数字 阅读全文
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题面 二叉树 题解 设 $f_n$ 表示叶子数为 $n$ 的答案，容易得出以下式子： $$ \begin{aligned} &f_0=0,f_1=1\ &f_n=\sum_{i=1}^n c_if_if_{n-i} \end{aligned} $$ 其中 $c_{s_i}=v_i$，其余的 $c_i 阅读全文
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题面 简单的数据结构题 题解 直接考虑我们要计算的式子。为了方便，我们先设 $l=1,r=n$。 $$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^na_i^k\prod_{j\neq i}\frac{1-a_ia_j}{a_i-a_j}\ =&\sum_{i=1}^na_i^k \le 阅读全文
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题面 简单的几何题 题解 易知 $v\neq 0$，那么直接考虑条件： $$ \begin{aligned} \left(x_iu^2+x_i-uv-y_iv\right)b^2&\leq \left(x_ia^2+x_i-ab-y_ib\right)v^2\ \frac{x_iu^2+x_i-uv 阅读全文
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题面 线图 题解 大力分类讨论题。 显然，$L(L(T))$ 中的点代表着 $T$ 上的一条三点链。 所以 $L(L(T))$ 上两点的最短路显然是沿着 $T$ 上两条三点链间的唯一路径走。 然后就可以大力分类讨论了。 有很多种情况，这里举一种情况吧： 如图，我现在想从红线框起来的三点链走到蓝线框起 阅读全文
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题面 数数 题解 ~~tm怎么天天数数（~~ 考虑一个点数为 $n$ 的有向完全图：对于边 $i\to j$ 来说，若 $i<j$ 则边权为 $x$，否则边权为 $1$。 显然答案就是这张图中以 $r$ 为根的且边权乘积为 $x^m$ 的内向树个数。 考虑矩阵树定理。 先推出基尔霍夫矩阵 $K$： 阅读全文
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题面 分数 题解 手推一下发现最优策略是：（不会证） 若 $x<0$，则不断 $x\gets x+1$ 直到 $x\geq 0$ 为止。 若 $x>0$，则 $x\gets -\dfrac{1}{x}$。 若 $x=0$，终止。 也就是说，设开始时 $x=\dfrac{a}{b}<0$（若 $x>0 阅读全文
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题面 数学作业 题解 看到 $m$ 很大，联想到矩阵快速幂。 由于对于每个初始的 $x$，它变成 $1$ 的方法是唯一的。所以我们可以考虑从 $1$ 倒推，这样用不同的方法倒推得到的数肯定是不同的，所以不会算重。 为了方便，我们从 $0$ 而不是 $1$ 开始倒推，此时原来倒推 $m$ 步就变成了倒 阅读全文
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题面 XOR 题解 以下对于一个数 $x$，用 $x_i$ 表示 $x$ 在二进制下的第 $i$ 位。如果这个数本身就带下标，如 $a_k$，那么用 $a_{k,i}$ 表示 $a_k$ 在二进制下的第 $i$ 位。 发现带上绝对值很难搞，考虑如何确定绝对值的符号： 对于 $|a-b|$ 来说，我们 阅读全文
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题面 迷宫 题解 不妨把只由左向边形成的图称为 “左图”，那么 “右图” 的定义同理。 如果只从图论的角度推，还是能推出来很多东西的。 比如： 当 $X=Y=Z=0$ 时，右图能任意连，而左图只能是一些环。 否则，左图和右图都只能是环。 但你发现接下来很难做。 所以考虑用数学表示图论，这样就有更多性 阅读全文
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题面 数数题 题解 ~~让多项式完全入门、求导积分0基础的来做这个？？?~~ 赶紧看来一波高中选修2-2，才来硬推这道题。 所以说有一些对于巨佬们来说很简单就能推出来的东西，我可能反而会用一些更加复杂的方法。 题目可以看成是对于所有的 $k$ 求出： $$ \lim_{\Delta x\righta 阅读全文
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题面 字符串题 题解 设所有长度不超过 $n$ 的串的集合为 $S$。 考虑找到一种方法，能够对一个 lyndon 串 $A$ ，直接求出 $A$ 的下一个 lyndon 串。方法如下： 先将 $A$ 不断复制， 取出前 $n$ 位作为新的 $A$ ，即 $A\leftarrow AAA⋯$ 的前 阅读全文